berechnen sie den inhalt des beschriebenen bzw. abgebildeten flächenstücks a?

berechnen sie den Inhalt des beschriebenen bzw. abgebildeten Flächenstücks a.

f(x)=2Wurzelx

g(x)=2x^2-8x+8

Mein Ansatz gleichsetzen und dann sie Schnittpunkte ausrechnen und somit die Fläche berechen.

Problem:

Ich hab keine Ahnung was bzw. wie ich mit der Wurzel Schnittpunkte quasi die Nullstellen ausrechen soll. Da PQ-Fromel nicht geht

Answer 1

[Sapiens1337]

Hast du zufällig ein Bild von dem "abgebildeten Flächenstück A" ?

Wäre sehr hilfreich zur Bestimmung der Integrationsgrenzen.

Derzeit kann ich dir nur behilflich sein Nullstellen der Funktion f(x) zu bestimmen und den Schnittpunkt beider Funktionen.

Für die Nullstellen der Wurzelfunktion f(x) gilt wie immer formal der Ansatz

$f\left(x\right)=0$ $f\left(x\right)=2\sqrt{x}=0$

Division durch 2 und radizieren auf beiden Seiten

$x=0$

bei x = 0 liegt der Funktionswert y = 0 vor, also die Nullstelle (Kinderspiel). Wozu also die PQ-Formel auf "Teufel komm raus" versuchen?

Für das Gleichsetzen und lösen

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$ $2\sqrt{x}=2x^2-8x+8$

Division durch 2 auf beiden Seiten

$\sqrt{x}=x^2-4x+4$

Quadrieren auf beiden Seiten zum Eliminieren der Wurzel

$x=\left(x^2-4x+4\right)^2$ $x=x^4-8x^3+24x^2-32x+16$

Mit x jetzt auf beiden Seiten subtrahieren

$x^4-8x^3+24x^2-33x+16=0$

Sehr "komplizierte" Gleichung, die man normalerweise mit einem GTR (Grafikfähigen Taschenrechner) hätte schon vorher lösen sollen beim Anfang des Gleichsetzens, aber dennoch algebraisch "per Hand" zu lösen, z.B. mit Polynomdivision.

Dafür raten wir eine Nullstelle [...] nach Raterei fand ich heraus, dass bei x = 1 eine Nullstelle vorliegt also wird das gesamte Polynom durch das Polynom (x-1) geteilt, tust du dies, erhältst du folgendes Polynom

$x^3-7x^2+17x+16$

Damit wüssten wir über algebraischen Weg, dass ein Schnittpunkt bei x = 1 vorliegt, aber ich habe keine Lust nochmal zu raten oder für dich die Cardanische Formel einzuführen. Nutz einfach einen GTR. Die Lösungen sind x = 1 und x ≈ 3,3532

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik (Vollfach / Bachelor)

Answer 2

[eddiefox]

Hallo,

Wenn die gelbe Fläche gemeint ist, ist es einfach :

A = (von 0 bis 1) ∫ f(x)dx + (von 1 bis 2) ∫ g(x)dx

Ist die grüne Fläche gesucht, kann man nur näherungsweise die zweite Integrationsgrenze k eingeben, da der zweite Schnittpunkt der beiden Kurven keine einfache Lösung hat.

( A = (von 1 bis k) ∫ (f(x)-g(x)dx )

Gruß

Comments

[eddiefox]

Beim zweiten Integral fehlt eine Klammer:

A = (von 1 bis k) ∫ (f(x)-g(x))dx

[Sapiens1337]

Kann man die zweite Lösung eventuell anders ausdrücken? Über eine Wurzel oder Ähnliches?

[eddiefox]

@Sapiens1337

Das ginge schon. Man könnte die Nullstelle(n) von x³-7x²+17x+16 (siehe Rechnung von Sapiens 1337) mit der Cardanischen Formel bestimmen, aber das ist etwas mühsam und geht über das Schulprogramm hinaus.