Wie lassen sich die Nullstellen berechnen?
Die Gleichung lautet:
f(x)=2x^3-8x-22x+60
wie muss man dann rechnen um die Nullstellen herauszufinden?
danke schonmal
Soll das wirklich -8x-22x heißen ? oder sollte dort x hoch 2 stehen ?
Stimmt hoch 2 fehlt
8 Antworten
Da es eine Funktion 3. Grades ist, sind pq- bzw. abc-Formel ausgeschlossen.
Ausklammern (Faktorisieren) kannst du auch nicht, da am Ende der Funktion eine Konstante steht. Direktes Wurzelziehen geht auch nicht wegen der Zahlen mit dem x.
Entsprechend bleibt hier die Polynomdivision. Achte darauf, die Funktion vorher zu vereinfachen.
f(x) = 2 * x ^ 3 - 8 * x ^ 2 - 22 * x + 60
2 * x ^ 3 - 8 * x ^ 2 - 22 * x + 60 = 0 | : 2
x ^ 3 - 4 * x ^ 2 - 11 * x + 30 = 0
Das Absolutglied ist der Term im Polynom, wo keine Variable, hier also kein x, mit dabei steht, das ist hier die 30
Nun ermittelst du die Teiler von 30
Ein Teiler ist eine Zahl, durch die man eine andere Zahl ganzzahlig teilen kann.
Die Teiler von 30 sind 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15
Die negativen Teiler sind dann -1, -2, -3, -5, -6, -10, -15
Und die probierst du systematisch durch, ob sie eingesetzt in f(x) den Wert Null ergeben.
Dann stellst du fest, dass das für
x_1 = 2
x_2 = -3
x_3 = 5
der Fall ist.
Da f(x) hier den Grad 3 hast, kannst du mit dem durchprobieren aufhören, wenn du 3 Nullstellen gefunden hast, weil ein Polynom des 3-ten Grades niemals mehr als 3 Nullstellen haben kann. Außerdem müssen nicht immer alle Nullstellen reelle Nullstellen sein.
Hallo,
eine Nullstelle raten - probiere mal ±1; ±2; ±3 - da könntest Du fündig werden.
Dann Polynomdivision durch (x-Nullstelle). Das quadratische Restpolynom dann nach den üblichen Verfahren lösen.
Cooler ist die Anwendung der cardanischen Formel - die kann aber nicht jeder.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie schon andere geschrieben haben, erst mal durch zwei teilen. Dann wenn möglich eine Nullstelle raten. Die steckt wenn sie ganzzahlig ist als Teiler im letzten Glied, nach teilen durch 2 also in der 30. 30 = 5*2*3, d.h. als ganzzahlige Nullstellen kommen +/-1, 2, 3, 5, 10, 15 und 30 in Frage. Einfach ausprobieren. Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, Polynomdivision durchführen und die verbleibende quadratische Gleichung lösen.
Nebenbei vermute ich dass du irgendwo ein ^2 vergessen hast.
Es gibt auch ein direktes Lösungsverfahren für Gleichungen dritten Grades,
https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
das ist aber nicht unkompliziert.
bei -8x hast du sicher das x² vergessen.
zuerst durch 2 teilen;
x³ - 4x² -11x +30 = 0
dann eine NS raten
x=2
dann Horner Schema und nachher pq-Formel (x=5 und x= -3)