Für was steht e im Zerfallsgesetz?

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Hallo MacxFragt,

ich habe die Formel dahingehend korrigieren lassen, als dass ich N(0) und N(t) vertauscht habe, denn N(0) ist der Anfangswert und N(t) der „aktuelle“ Wert zum Zeitpunkt t.

...gibt es den Faktor e.

Das ist kein Faktor, sondern eine Basis. Wie schon andere User geschrieben haben, ist e die Euler'sche Zahl. Auch wenn die Ziffernfolge anfangs periodisch aussieht, ist sie irrational und sogar transzendent *).

Basiswechsel bei Exponentialfunktionen

Eine beliebige Exponentialfunktion

(1.1) f(x) = a^{x}

zu einer bestimmten Basis a>0 lässt sich dank des Potenzgesetzes

(1.2) (b^{x})^{y} = b^{x·y}

(wir potenzieren eine Potenz, indem wir den „neuen“ Exponenten mit dem „alten“ multiplizieren) und der Identität

(1.3) a = b^{log_[b](a)}

(ergibt sich aus der Definition des Logarithmus) auch als Exponentialfunktion zu einer anderen Basis b>0 ausdrücken, also auch als Exponentialfunktion zur Basis e („e-Funktion“):

(1.4) f(x) = a^{x} = e^{ln(a)·x}

Dabei ist ln(a)=log_[e](a) der sog. Natürliche Logarithmus.

Wieso eigentlich e, was ist daran „natürlicher“?

Exponentialfunktionen sind proportional zu ihrer eigenen Ableitung nach der Variablen (Änderungsrate), im obigen Fall also x.

Der dazu gehörige Proportionalitätsfaktor hängt von der Basis ab und ist genau bei e als Basis einfach gleich 1, d.h., die Funktion e^{x} ist gleich ihrer eigenen Ableitung nach x. Deshalb heißt e^{x} auch die Natürliche Exponentialfunktion.

Ableitung von Exponentialfunktionen mit Faktoren im Exponenten

Eine Funktion

(2.1) g(x) = e^{α·x}

mit irgendeinem reellen Vorfaktor α hat die Ableitung

(2.2) g'(x) = α·e^{α·x},

sodass

(2.3) f'(x) = ln(a)·e^{ln(a)·x} = ln(a)·a^{x}

ist.

Physikalische Exponentialfunktionen

In der Physik sind die Größen, mit denen wir es zu tun bekommen, oft dimensionabehaftet, d.h., sie enthalten Maßeinheiten.

Das darf im Exponenten jedoch nicht sein, weil das keinen Sinn ergibt. Die Zerfallskonstante λ muss deshalb die Dimension [1/Zeit] und die Maßeinheit 1/s haben, was bei der Ableitung auch Sinn ergibt. Schließlich soll bei der Ableitung eine zeitliche Änderungsrate, also irgendetwas pro Zeit herauskommen.

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*) d.h., sie kann nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen bzw. rationalen Koeffizienten (Vorfaktoren) auftreten. Ein Beispiel für eine irrationale, nicht transzendente Zahl ist √{2}, und die zugehörige Gleichung ist einfach

x² – 2 = 0.

"radioaktiver Zerfall" Formel N(t)=No*e^(-b*t)

No Anzahl der zerfallsfähigen Atome zum Zeitpunkt t=0

also N(0)=No*e^(-b*o)=No*e^0=No*1=No

b ist die Zerfallskonstante, abhängig vom Material

e^1=2,71828.. ist die "Eulerzahl"=konstant

Zerfallsgesetz (y2-y1)+y(x)*b*(x2-x1)=0

mit y(x)=f(x)

y(x) Zerfallsfähige Kerne zum Zeitpunkt x

y2-y1 ist die Anzahl der zerfallenen Kerne im Zeitintervall (x2-x1)

geht nun das zeitintervall (x2-x1) gegen Null,so ergibt sich

dy+y*b*dx=0 dividiert duch dx

dy/dx+b*y=0 dies ist eine Differentialgleichnung (Dgl) der Form y´+a*y=0

nennt man " homogene lineare Dgl 1.ter Ordnung"

Lösung durch trennen der Veränderlichen y und dx

dy+y*b*dx=0 ergibt

dy=-y*b*dx dividiert durch y

dy/y=-b*dx integriert

Integral(dy/dy=Integral(-b*dx)=-b*Integral(dx)

ln(y)=-b*x+C

y=f(x)=e^(-b*x+C)=e^(-b*x)*e^C siehe Mathe-Formelbuch "Potenzgesetze"

a^r*a^s=a^(r+s)

Bestimmung der Konstanten e^C

Zum Zeitpunkt t=0 ist die Anzahl der zerfallsfähigen Atomkerne No

f(x)=N(t)=e^C*e^(-b*t) mit t=0

N(0)=e^C*e^(-b*0)=e^C*e^0=e^C*1=No

e^C=konstant=No

Endformel N(t)=No*e^(-b*t)

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