Für a^2+b^2=c^2 gibt es mögliche ganzzahlige Besetzungen, für a^3+b^3=c^3 nicht, wie sieht es mit a^2+a^2=b^2 oder a^3+a^3=b^3, oder mit a^2+a^2=b^3 aus?
5 Antworten
Das sollte dir sofort klar werden, wenn du z.B. 2 * a^2 = b^2 schreibst.
Der Beweis für den Spezialfall n=m=o=1 und x=y=z>2 (Fermat / Wiles) soll ja um die 200 Seiten umfassen und vielleicht von einer Handvoll Spezialisten verstanden worden sein. Das macht wenig Hoffnung für den allgemeinen Fall. In Spezialfällen kann man vielleicht Glück und eine gute Idee haben. Eine Lösung für a^2 + a^2 = b^3 sieht man sofort: a=b=2.
Ich löse nur die erste Gleichung auf,
Also ist b wenn a rational ist irrational. Analoges kannst du für die beiden anderen Gleichungen auch zeigen.
Und bei a^2+a^2+b^2=c^3;
2×a^2+b^2=c^3, also allgemein für na^x+mb^y=oc^z?
√2 ist eine irrationale Zahl, ebenso ³√2.
Da du von ganzzahligen Besetzungen sprichst, wollte ich der Vollständigkeit halber noch darauf hinweisen, dass alle deine Gleichungen für den trivialen Fall a=b=0 erfüllt sind.
Deine Frage betrifft allgemein betrachtet sogenannte diophantische Gleichungen, für die ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Der Mathematiker Hilbert formulierte gegen 1900 das Problem der Lösbarkeit solcher Gleichungen. Im Jahr 1970 wurde bewiesen, dass die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen nicht entscheidbar ist. Es gibt deshalb keinen Algorithmus, der die Lösbarkeit beliebiger diophantischer Gleichungen feststellen kann. Eine Erklärung findet man in diesem Video:
Und wie finde ich das bei allen allgemeinen Gleichungen
na^x+mb^y=oc^z raus?