Begründen Sie, wie viele Vektoren im dreidimensionalen Raum die Länge 3 haben, wenn nur ganzzahlige Koordinaten zugelassen sind?

Angenommen der Vektor hat die Form (x,y,z), dann hat der Vektor die Länge Wurzel(x^2+y^2+z^2)

Damit also die länge gleich 3 ist, muss x^2+y^2+z^2=3^2=9 gelten.

Betrachte nun die drei Fälle:

Genau eine Koordinate ist ungleich 0.

Genau zwei Koordinaten ist ungleich 0.

Genau drei Koordinaten ist ungleich 0.

Du musst also schauen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 durch die Summe von einer, zwei oder drei Quadratzahlen darzustellen.

Beachte dann noch, dass du die Koordinaten tauschen kannst, und dass du einzelne Koordinaten mit -1 multiplizieren kannst, da dies nicht die Länge ändert.

Es gibt zum Beispiel 6 Vektoren der Länge 3, bei denen genau ein Eintrag ungleich 0 ist:

(3,0,0), (-3,0,0), (0,3,0), (0,-3,0), (0,0,3) und (0,0,-3)

Die beiden anderen (und etwas komplizierteren) Fälle machst du bitte selbst.

Tipp: finde zuerst alle Belegungen sodass alle Koordinaten positiv oder 0 sind und x<=y<=z gilt, überlege dann mit Kombinatorik, wie viele andere Möglichkeiten du damit erschaffen kannst, wenn du Koordinaten tauscht, oder Koordinaten negativ machst.