Frage zur Mathematik?
Was ist die Hyperbolische Theorie?
wer kann mir das erklären, dass das ein normal Mensch versteht?
1 Antwort
Zunächst einmal ist es wichtig zu verstehen, wie axiomatische Geometrie funktioniert.
Man betrachtet nicht reale Flächen (oder Darstellungen dieser), wie man es aus dem Matheunterricht kennt. Stattdessen formuliert man bestimmte Anforderungen, die vorhamden sein müssen, um Aussagen über bestimmte Dinge treffen zu können. Diese nennt man Axiome.
Ein Beispiel wären die natürlich zahlen. Axiome dafür sind unter anderem, dass es eine kleinste Zahl gibt, und dass jede Zahl einen Nachfolger hat. Diese und noch ein paar mehr Axiome reichen aus um Sätze über Primzahlen oder ähnliche zu beweisen, ohne jemals eine Zahl wie wir sie kennen gesehen zu haben.
Man könnte sich nun aber bestimmte Konstrukte überlegen, wie etwa unsere natürlichen Zahlen, die genau diese Axiome erfüllen und mit denen wir auch anschaulich was anfangen können. Diese nennt man dann ein Modell des Axiomensystens.
Das bietet gleich mehrere Vorteile: einerseits ist die Mathematik dadurch sehr frei, weil sie alle Axiome aufstellen kann, die sie will (auch wenn das evtl. nicht viel Sinn ergibt). Andererseits kann man so sehr allgemeine Aussagen treffen, die nicht nur in einem bestimmten Konstrukt gelten, sondern in jedem Modell des Systems.
So macht man das auch mit der euklidischen Geometrie. Das hilbertsche Axiomensystem ist dabei die Grundlage für die moderne euklidische Geometrie, für die auch die intuitiv bekannte Geometrie auf einer Ebene (formal z. B. R^2) ein Modell ist.
Ein wichtiges Axiom betrifft dabei die Parallelität von Geraden:
Zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g gibt es genau eine gerade g', die g nicht schneidet und durch P verläuft.
Die Geraden schneiden sich genau dann nicht, wenn sie parallel sind. Sind sie nicht parallel, sie müssen sie sich irgendwann schneiden, da sie unendlich lang sind und der Abstand immer geringer wird.
In der hyperbolischen Geometrie wird dieses Axiom nun so abgeändert, dass es immer mindestens zwei Geraden gibt, die g nicht schneiden.
Das ist erstmal nicht besonders anschaulich, da das in unsere physischen Welt so nicht vorkommt. Es gibt Modelle davon, die mehe oder wrniger verdeutlichen, wie sowas aussehen könnte, aber auch nicht intuitiv sind (z. B. das Kreisscheibenmodell von Beltrami)
In solch abstrakter Mathematik stößt man mit Intuition ohnehin an seine Grenzen. Man lernt, es einfach nur als gegebene Regeln zu akzeptieren und logisch daraus Folgerungen abzuleiten.
Da ich mich mit der hyperbolischen Geometrie aber selbst kaum befasst habe, kann ich zu der Anwendung davon leider nicht viel sagen. Die Antwort sollte aber grundsätzlich dabei hilfreich sein zu verstehen, wie die moderne Mathematik arbeitet.