Frage zu ganz-rationalen Funktionen?
Hängt ob eine Funktion gerade oder ungerade ist davon ab, ob f(x) = f(-x) bzw f(-x) gleich -f(x) ist, oder hängt es davon ob die Exponenten von x (bzw (x+a)) gerade oder ungerade sind?
und dann, ist f(x) = (x-2)(x+2)(x-4)(x+4) eine gerade oder ungerade Funktion?
2 Antworten
Vorsicht bei solchen Ausdrücken wie f(x) = (x-2)(x+2)(x-4)(x+4)
Dass es sich dank Binome zu f(x) = (x² - 4) * (x² - 16) verkürzt, so dass nur noch gerade Exponenten auftauchen, ist dieser Binome-Struktur geschuldet.
Anders bei (x-1) * (x+2) * (x-3) * (x+4) =
hat keine dieser Symmetrien.
Wenn alle Exponenten gerade sind, dann spielt es natürlich keine Rolle, ob beim Parameter ein Minuszeichen davor steht oder nicht, es wird wegquadriert, also Achsensymmetrie.
Wenn alle Exponenten ungerade sind, dann kann man Folgendes machen:
Der hintere Teil ist gerade, also achsensymmetrisch. Durch das Vorzeichen des x davor wird ein Teil aber nun nach unten gespiegelt, im Übrigen wird das x nicht auf die Spiegelung ein.
Aber Vorsicht: Eine Konstante hat einen geraden Exponenten.
Also ist z.B. f(x) = x³ + k nicht punktsymmetrisch (allenfalls könnte man sagen, dass es am Punkt (0 | k) punktsymmetrisch ist, aber nicht bei (0|0).
Also ist z.B. f(x) = x³ + k nicht punktsymmetrisch (allenfalls könnte man sagen, dass es am Punkt (0 | k) punktsymmetrisch ist, aber nicht bei (0|0).
So kenne ich es auch. f(x) = x³ + k ist punktsymmetrisch (es gibt einen Punkt, an dem sich der Graph spiegelt), aber nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Bei Funktionen allgemein ist es nicht so. Wahrscheinlich sprecht ihr von Polynomen oder ganzrationalen Funktionen oder so.
Bei denen ist es synonym zu verstehen. Wenn an jedem Summand x^<gerade Zahl> steht, ist die Funktion gerade. Dann spiegelt sie sich an der y-Achse. Das bedeutet, dass f(-x) = f(x) ist. Das liegt daran dass (-x)^(gerader Exponent) = (x)^(gerader Exponent) ist.