Frage zu Funktionenschar?!
Hallo, Durch f(X)=x^3+ax^2+(a-1)x (a aus dem Element reeller Zahlen) ist eine Funktionenschar gegeben.Die zugehörigen Schaubilder seien k a . Zeige,dass alle Schaubilder k a zwei punkte gemeinsam haben. an welcher stelle x0 haben alle Schaubilder die gleiche Steigung?Wie groß ist diese? Die 2. winkelhalbierende schneidet jedes Schaubild .Für welchen wert von a gibt es genau einen(zwei,drei) Schnittpunkte?
7 Antworten
bei solchen schar-Aufgaben drfst du keine konkreten Werte für a einsetzen, sondern mit a1 und a2 arbeiten und dann zusehen, dass die a's sich wegkürzen;
zB zu Frage 2)
f ' bilden
3x²+2a1x+a1-1=3x²+2a2x+a2-1 →2a1x+a1=2a2x+a2
ordnen und x ausklammern → x(2a1-2a2)=a2-a1
dann x = -(a1-a2)/2(a1-a2) und Klammer kürzen ergibt dann x = -1/2
So musst du es auch mit Frage 1) mit f machen.
1. Frage: x³ + ax² + (a - 1)x = x³ + bx² + (b - 1)x → (a - b)x² + (a - b)x = 0.
Da a ungleich b (verschiedene Scharkurven), ist a - b ungleich 0
und man darf die Gleichung durch (a - b) teilen, also x² + x = 0
oder x (x + 1) = 0 mit den Lösungen x = 0 und x = - 1.
3. Frage: x³ + ax² + (a - 1) x = -x → x³ + ax² + ax = 0 → x ∙ (x² + ax + a)
→ x = 0 oder x² + ax + a = 0 mit den Lösungen x = - ½ { 1 a² ‒ 4a) }.
Es gibt außer x = 0 also 1) keine Ns, wenn die Diskriminante D = a² ‒ 4a < 0
ist oder 2) eine Ns, wenn D = 0 oder 3) zwei Ns, wenn D > 0 ist.
Das Schaubild von D(a) = a² ‒ 4a = a (a ‒ 4) ist eine nach oben geöffnete
Parabel mit den Ns. a = 0 und a = 4, also ist D< 0 für 0 < a < 4 und
D = 0 für a = 0 oder a = 4 , und D > 0 sonst.
Gemeinsame Punkte geht irgendwie über die Nullstellen der Ableitung nach a. (Frag mich nicht, wieso, das weiß ich nicht mehr.)
Gleiche Steigung: dasselbe für f'(x). Zugehöriger Wert der Steigung durch Einsetzen.
Losen der Gleichung f(x) = -x bzw. f(x) + x = 0. Eine gemeinsame Lösung ist offensichtlich x=0. Der Rest ist eine quadratische Gleichung, in der eine Quadratwurzel auftaucht. (Bekanntlich nennt man bei quadratischen Gleichungen den Term unter der Wurzel "Determinante".) Anzahl der weiteren Schnittpunkte 0, 1, 2 je nachdem, ob die Determinante <0, =0, >0 ist (also gleich Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung).
Denk dran, dass das a in Untersuchungen behandelt wird wie jede Zahl in einer Kurvendiskussion, und leg erst mal los. Du wirst nicht erwarten, dass wir dir das alles vorkauen. Du kannst Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte genauso berechnen wie sonst.
Die 2. Winkelhalbierende soll wohl die des 2. Quadranten sein: y = -x
Du kannst dann ja nachfragen.
Am besten gehst du es sukzessive durch. Rechne doch erst mal die Nullstellen der Kurvenschar aus. Häufig wird man dann schon fündig oder hat zumindest ein Ergebnis. Allerdings ist die Kurve dritten Grades, so dass es vielleicht nicht ganz einfach ist, einen Linearfaktor zu bestimmen, durch den du dann dividieren kannst. Ich gucke mir das selber mal an und melde mich dann.
Eine Gemeinsamkeit für alle Kurven ist schon mal gleich zu sehen. Eine Nullstelle liegt für alle bei x = 0!
Meine Vermutung: die nächste Gemeinsamkeit ist die zweite Nullstelle. Vielleicht gibt es ja überhaupt nur eine zweite.
Wegen der Nullstelle bei x=0 entfällt auch jegliche Polynomdivision.
Damit alle was davon haben, hier die Auflösung dieser Bemerkung:
Bei Gleichsetzen der Kurvenschar mit y = -x entsteht:
x³ + ax²+ ax - x = -x | +x
Dann habe ich wieder eine Gleichung, bei der ich x ausklammern und auf den Rest die p,q-Formel anwenden kann.
Einen Schnittpunkt gibt es immer, nämlich den, der aus x = 0 resultiert. Die anderen sind sinnvoll gemäß der Diskriminante hinzuzufügen.
gemeinsame Punkte: gleichsetzen und Werte ausrechnen gleiche Steigung: erste Ableitung gleichsetzen und ebenfalls Werte ausrechnen um die Steigung zu berechnen, den x wert an dem die Steigung berechnet werden soll in die erste Ableitung einsetzen und ausrechnen
Danke aber zu den gemeinsamen Punkten.Womit soll ich die Funktionenschar denn gleichsetzen?
Das sagte ich ja auch nicht,aber ich habe im Moment keine Ahnug,wie ich da ran gehen soll