Extremstellen?
Hallo!
könnt ihr mir bei der Aufgabe weiterhelfen?
Danke im Voraus!!
4 Antworten
Hallo lieber sugusugu .
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Man betrachtet gleich die Ableitungen
a)
f'(x) = 2ax + b = 0
hat für b ungleich Null eine Lösung (-b/2a) und für b = 0 die Lösung (0)
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f'(x) = 2a
Die zweite Ableitung ist immer ungleich Null , und je nach Vorzeichen von a mal pos mal neg ( HP oder TP )
a = 0 ist eine Fkt von Grad 2
.
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b)
f'(x) = 3ax² + 2bx + c = 0 mit pq
x1 x2 = -2b/6a + - wurz( 4b²/36a² - c/3a )
mit a > 0
mit b > 0
und c > 0 und groß genug ist ein negativer Wert unter der Wurzel möglich
f(x) = 5x³ + 6x² + 1000x + 5 z.B hat wie unendlich viele andere , eine solchen Graph
als erste Ableitung ( keine Nullstellen ) , dh keine Extrema.
a) richtig weil f(x)=ax^2+bx+c , a ≠ 0
f‘(x) = 2ax + b und die Gleichung 2ax+b = 0 besitzt immer eine Lösung und f‘‘(x) = 2a ≠ 0 für a a≠ 0
b) falsch, weil f(x) = ax^3 , a ≠ 0 besitzt einen Sattelpunkt .
a) Stimmt weil alle Funktionen mit dem Grad 2 Parabeln sind und die immer eine Extremstelle besitzen
b)Funktionen vom Grad 3 besitzen keine Extremstelle, sondern nur einen Sattelpunkt. Hier ist die steigen auch 0 aber es gibt keinen Vorzeichenwechsel der Steigung.
Kommentar zu b) Es gibt auch funktionen vom Grad 3 mit Extremstellen
Z.B: f(x) = x³-3x
Bei a) kann man formell beweisen, dass jede beliebeige fkt 2. Grades eine lokale Extremstelle hat. Für die Schule reicht vermutlich aber eine einfachere Begründung wie in den anderen Antworten.
Aussage b) kann man mit einem Gegenbeispiel widerlegen:
