Entropieänderung berechnen?
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
Aufgabe 4 (Beispiele für Entropieänderungen)
a) Zwei Mol eines idealen Gases werden von T = 400 K isotherm und reversibel von 40 l auf 80l expandiert. Berechnen Sie die Entropieänderung (i) des Gases, (ii) wenn man die Umgebung mit hinzurechnet.
b) Ein Stein mit der Masse 5 kg befinde sich 6 m uber dem Erdboden in Ruhe. Dann falle er herunter und stoße inelastisch auf den Boden (d.h. die ganze Energie wird dabei in Wärme umgewandelt). Die Anfangstemperatur von Atmosphäre, Stein und Boden sei 300 K. Wie groß ist die Entropieänderung des Universums?
Also die Entropieänderung kann man ja mit S=Q/T berechnen. Wobei Q die reversibel aufgenomme Wärme ist. T habe ich ja. Aber was genau ist jetzt Q? Und wie rechnet man die Umgebung mit zu?
Und bei b) verstehe ich nicht, was die Entropieänderung des Universums sein soll.
Hoffe, jemand kann mir helfen.
Danke im Voraus;)
3 Antworten
In Aufgabe a) ist von einem reversiblen Prozeß die Rede, also ΔSₜₒₜ=0. Das ist die Gesamtentropiebilanz, es kann aber durchaus Entropie vom Gas in die Umgebung oder umgekehrt fließen. Die Änderung der Inneren Energie ist Null (weil sie für ein ideales Gas nur von der Temperatur abhängt und die sich nicht ändern soll), also gilt nach dem ersten Hauptsatz ΔU=Q+W=0 oder Q=−W.
Die Arbeit kriegt man durch Integration des Drucks über die Volumsänderung W= −∫ p dV = −∫ nRT/V dV = −nRT ln(V₂/V₁) wobei V₁ und V₂ die Volumina am Anfang und am Ende der Expansion sind. In unserem Fall ist V₂=2V₁ und n=2 mol und T=400 K also W=−nRT ln(2)=−4.6 kJ. Die Arbeit wird an der Umgebung geleistet (das Umgebungsgas wird ja weggeschubst), also ist sie negativ.
Eine gleichgroße Wärmemenge Q=−W=+4.6 kJ muß in das System fließen (positives Vorzeichen), um die Innere Energie konstantzuhalten. Entsprechend steigt die Entropie des Gases ΔS=Q/T=−W/T=+12.5 J/K, während die der Umgebung um denselben Betrag abnimmt.
In Aufgabe b) hast Du einen Fünfkilo-Stein, der im Gravitationsfeld 6 m zu Boden fällt. Die dabei freiwerdende Energie ist ΔE=m·g·Δh=294 J, und die wird beim Aufprall als Wärme auf das ganze Universum verteilt (naja, zumindest im Prinzip), also Q=ΔE und S=Q/T=0.98 J/K.
Denk- und Rechenfehler sind nicht ausgeschlossen, solche Sachen rechne ich eigentlich nur einmal pro Jahrzehnt.
Die Arbeit ist dW=p·dV, und über diesen Ausdruck muß man während der Zustandsänderung, also von V₁ bis V₂, integrieren (warum? Weil die Energie U(T,V,N) im kanonischen Ensemble von V abhängt und daher V die Integrationsvariable sein muß. Wenn Du das nicht verstehst, mußt Du es schlucken). Zur Integration müssen wir also p durch V ausdrücken, und dazu dient die ideale Gasgleichung p=nRT/V. Wenn wir das integrieren, bekommen wir als Stammfunktion nRT·ln(V), und darin setzen wir Anfangs- und Endvolumen (V₁ und V₂) ein, kriegen wir nRT·ln(V₂)−nRT·ln(V₁) oder nRT·ln(V₂/V₁).
Die Energie im homogenen Gravitationsfeld ist E(h)=m·g·h (Grundkurs Mechanik), wenn also etwas um die Höhendifferenz Δh runterfallen lassen, dann gewinnt dieses Etwas dabei die Energie m·g·Δh. Dabei ist g die Erdbeschleunigung, g≈9.81 m·s⁻². Am Endpunkt liegt diese gesamte Energie als kinetische Energie ½mv² vor, und beim Aufschlag entsteht daraus Wärme, die in die Umgebung diffundiert und dabei die Entropie erhöht (ist ja ein irreversibler Prozeß).
Merke: Bei jeden reversiblen Kreisprozeß ist die Summe der reduzierten Wärmemengen gleich Null.
Formel Summe Qrev/T=0 oder in differentieller Schreibweise
Integral dQrev/T=0 hier muß über den ganzen gesclosenen Kreisprozeß integriert werden.
Q ist die zugeführte oder abgegeben Wärmeenergie
In einen T-S-Diagramm ist die Fläche unter der Kurve die zugeführte oder abgegeben Wärmeenergie
Qzu=T*(S2*S1) mit S2>S1 Qzu=positiv Wärmeenergie wird zugeführt
Qab=T*(S2-S1) mit S1>S2 Qab=negativ " " abgeführt
zu b) Die Entropie des Universums ändert sich nach meiner Meinung nicht,weil der Stein Wärmeenergie Qzu aufniimmt und diese aus der Umgebung kommt,der die Energie entzogen wird
Qzu=T*(S2-S1) uand Qab=T*(S2-S1)
Tzu*(S2-S1)=Tab*(S2*-S1) Tzu=Tab
Tzu*(S2-S1)-Tab*(S2-S1)=0
a) solch eine Aufgabe habe ich noch nie gerechnet.
B) Da die Temperatur konstant sein soll, gilt S = E / T = m • g • h / T
Ok vielen Dank. Könntest du mir vielleicht nochmals den Ansatz mit der Integration erklären? Da habe ich nicht so ganz verstanden, wie man auf die letztendlichen Formeln kommt.
Und woher kommt die Formel bei b für die innere Energie?