Dreieck Seite berechnen über Flächeninhalt?

Guten Abend,
Ich hänge an der im Bild gegebenen Aufgabe fest. Ich habe die unten gestellte Lösung aufgestellt, komme jedoch immer auf den Wert: 5,1423 (Was nicht hinkommt bei A=1)
Korrekter Lösungswert: 2,268 

Mein Ansatz:
A= (1/2)*(sin(β)/sin(γ))*c*(sin(α)/sin(γ))*c*sin(γ)

Denn:

A=(1/2)ab*sin(γ)
a=(sin(β)/sin(γ))*c
b=(sin(α)/sin(γ))*c
Vielen Danke im Vorhinein!

Answer 1

[mihisu]

Der Ansatz sieht doch schon einmal recht gut aus...

$A=\frac{1}{2}\cdot \overbrace{\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c}^{=b}\cdot \overbrace{\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c}^{=a}\cdot \sin(\gamma)$

$\rightarrow\quad A=\frac{\sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)}{2\cdot \sin(\gamma)}\cdot c^2$

$\rightarrow\quad \frac{\sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)}{2\cdot \sin(\gamma)}\cdot c^2=A$

[Division durch den Bruch vor c² bzw. Multiplikation mit dem entsprechenden Kehrbruch...]

$\rightarrow\quad c^2=\frac{2\cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)}\cdot A$

$\rightarrow\quad c=\sqrt{\frac{2\cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)}\cdot A}$

$\rightarrow\quad c=\sqrt{\frac{2\cdot \sin(100\degree)}{\sin(50\degree)\cdot \sin(30\degree)}\cdot 1}\approx 2\text{,}2677$

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„komme jedoch immer auf den Wert: 5,1423“

Für mich sieht es so aus, als ob du vergessen hast, die Quadratwurzel zu ziehen. Dann kommt man nämlich auf den falschen Wert 5,1423...

Hast du evtl. am Anfang einen der beiden Faktoren c von deinem Ansatz übersehen? Oder hast du vielleicht zwischendurch einfach beim Abschreiben von einer vorigen Zeile versehentlich „c“ statt „c²“ geschrieben? Oder hast du einfach die Quadratwurzel bei der Eingabe in den Taschenrechner vergessen?

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Du hast übrigens auch beim Aufschreiben deines Ansatzes a mit b verwechselt (oder α mit β verwechselt). Denn...

$a=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c\ne\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c$

$b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c\ne\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c$

Aber das ändert (mehr oder weniger zufällig) nichts am Ergebnis, da sich durch diesen Fehler nur die Reihenfolge der Faktoren bei a ⋅ b ändert.

Comments

[Harden321]

Dann war ich ja doch schon so nahe am Ziel ^^
Habe tatsächlich das c in der Rechnung ausgeklammert, war wohl etwas zu voreilig.
Vielen Dank für die Erklärung + Umfangreiche Analyse! :)