Diese Kurvendiskussion richtig gelöst?
Hallo, sind die folgenden Ergebnisse /Rechnungen der Kurvendiskussion richtig ?
1 Antwort
Abeleitungen:
Korrekt
Schnittpunkte mit Koordinantenachsen:
Korrekt
Symmetrie:
Ergebnis zwar korrekt (keine Symmetrie), aber f(–x) = (–x)^2 * e^(2*(–x)–1) = x^2 * e^(–2*x–1). Du hast das Minus nicht in die Klammer genommen, also es steht –x^2... und nicht (–x)^2... bei dir.
Grenzverhalten:
Korrekt. Ich hätte nach dem Gleichheitszeichen nochmal den Limes hingeschrieben, aber wenn ihr es so gelernt habt, ist es ok.
Extrempunkte:
Falsch. Bei den Nullstellen der ersten Ableitung hättest du auklammern und dann den Satz vom Nullprodukt (SVN) anwenden müssen, also
2 x + 2 x² = 0 |:2
x + x² = 0 |ausklammern
x (1 + x) = 0 |SVN
x = 0 oder 1 + x = 0 <=> x = –1
Wir erhalten also zwei Nullstellen. Du hast ja statt Ausklammern die Wurzel gezogen, aber die Wurzel bezieht sich auf die ganze Gleichung und nicht nur das x². Es hätte also so ausgesehen
x + x² = 0 | √
√(x + x²) = 0
Du siehst, das hilft nicht weiter. Deswegen - eigentlich immer - wenn du in jedem Summanden ein x siehst, erst einmal x ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden (manchmal geht das sogar mehrmals in einer Gleichung).
Zudem ist f"(0) nicht 2, sondern 2 e^(–1) = 2/e, was aber dennoch größer Null wäre.
Zum Vergleich die Lösung:
f'(x) = 0 <=> x = 0 oder x = –1 (siehe Rechnung oben)
f"(0) = 2 e^(–1) > 0 und f(0) = 0
f"(–1) = –2 e^(–3) < 0 und f(–1) = e^(–3)
also TP(0 | 0) und HP(–1 | e^(–3))
Wendepunkte:
Ergebnis der Nullstellen von der zweiten Ableitung zwar korrekt, aber im Rechenweg hast du dich vertan. Wenn du dir den Ausdruck unter der Wurzel anschaust, also (2/2)^2 – 1/2, erhälst du zusammengefasst 1/2 und nicht 0,707. Der Wert 0,707 ist jener, nachdem du die Wurzel ziehst, also √(1/2) ≈ 0,707. Da warst du im Taschenrechner etwas voreilig, ist aber nur ein Flüchtigkeitsfehler.
Dass es zwei Wendepunkte gibt, ist korrekt, aber ich erhalte andere Punkte als du, nämlich WP1(–0,293 | 0,018) und WP2(–1,707 | 0,035). Denn
f(–0,293) = (–0,293)^2 * e^(2*(–0,293)–1)
f(–0,293) ≈ 0,086 * e^(–1,586)
f(–0,293) ≈ 0,086 * 0,205
f(–0,293) ≈ 0,018
f(–1,707) = (–1,707)^2 * e^(2*(–1,707)–1)
f(–1,707) ≈ 2,914 * e^(–4,414)
f(–1,707) ≈ 2,914 * 0,012
f(–1,707) ≈ 0,035
Ich empehele dir, den ganzen Ausdruck in den Taschenrechner einzugeben (spart Zeit und verursacht deutlich weniger Fehler), also die Ausdrücke
(–0,293)^2 * e^(2*(–0,293)–1) und
(–1,707)^2 * e^(2*(–1,707)–1)
direkt in den Taschenrechner eingeben.
