Bogenmaß und Gradmaß mit Tabelle berechnen?
Hey ich schreib bald einen Mathe Test und verstehe überhaupt nicht wozu die Tabelle (siehe bild 1) gehört. Also wir haben einen „Kreis“ in einem Koordinatensystem gezeichnet (bild 2) wo die Grad angaben auch gegeben sind aber wie sind jetzt als beispiel 270 grad = 3/2 pi? wie hat due grad zahl etwas mit pi zutun und für welche berechnungen bräuchte ich diese tabelle?
eine theorie von mir wäre wenn ich das bogenmaß berechne und alpha hat 270 grad muss ich dann in der formel (b alpha= 2x pi x r x alpha: 360 grad) die zwei pi durch 3/2 pi ersetzen?
vielen dank für jede antwort ich verstehe dem rest schon aber das wird nirgendwo richtig erklärt.
Bild1:
Bild2:
3 Antworten
Das Bogenmaß ist die Länge den ein Winkel am Einheitskreis überstreicht.
Während andere Winkelbezeichnungen willkürlich festgelegt sind, ist das Bogenmaß eine tatsächliche Länge am Kreis.
Der Umfang eines ganzen Kreises mit Radius 1 beträgt 2 * pi
Ein ganzer Kreis hat 360°.
Das bedeutet: 360° entsprechen 2*pi
1° demgemäß 2 * pi / 360 = pi / 180 , usw.
Pi ist ja ursprünglich definiert worden als das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser. (Man hat erst viel später angefangen, vorzugsweise mit dem Radius zu rechnen.)
Der Vollkreisbogen hat also die Länge 2 pi r. Andere Winkel entsprechend; z. B. hat der Winkel des Halbkreisbogens die Länge pi r, der des rechten Winkels 1/2 pi r (der rechte Winkel ist ja 1/4 des Vollkreiswinkels) usw.
Du hast also 270° = 3/2 pi völlig richtig umgesetzt.
Zunächst scheint das Bogenmaß ziemlich willkürlich zu sein. Winkelgrade sind für die menschliche Vorstellung viel leichter fassbar.
Aber wenn man weitergehende Kapitel der Mathematik betrachtet, stellt man fest, dass das Bogenmaß einige Vorteile hat. Z. B. ist der Sinus eines kleinen Winkels ungefähr gleich seinem Bogenmaß, und die Abweichung wird "schnell genug" kleiner, je kleiner der Winkel wird.
Leider sieht man diese Vorteile erst, wenn man über die Mittelstufen-Mathematik und -Physik hinausgeht. Deshalb schreibe ich kein Beispiel in diese Antwort (das würde die Antwort zu stark aufblähen).
Auch, wenn ein Computer trigonometrische Funktionswerte berechnen soll, ist das im Bogenmaß wesentlich einfacher als im Gradmaß.
Spätestens wenn du Winkelfunktionen mit Excel berechnen willst brauchst du die Umrechnung in pi.
Es gibt einfach bereiche, wo auch aus praktischen Gründen andere Einheiten verwendet werden. Bei Vielfachen von pi, lässt sich sofort erkennen, ob es sich evtl. um meherere Kreisumdrehungen handelt, bei zahlen muss man erstmal schauen, ob Grad oder gon.
Bräuchte ich zb für die berechnung des Bogenmaßes diese Tabelle um die verschiedenen Pi einzusetzen?
Du musst eigentlich nur von pi=180° ausgehend die Formel aufstellen, wie man Grad in pi und umgekehrt ausrechnet. Also x*pi = y°/180° y ist im allgemeinen ein beliebig gegebener Winkel in Grad. Umgekehrt wäre x eine angegebne Zahl und du musst den Winkel ausrechnen.
vielen dank für ihre antwort! Aber wie haben die Grad Zahlen des Kreises etwas mit den Pi Angaben zutun?