Aus Konvexität von der Fkt. f folgt Monotonie für die Fkt. m?
Ich bräuchte Hilfe bei der Folgenden Aufgabe:
Sei f: R -> R eine konvexe Funktion mit f(0)=0. Weiterhin sei m : ]\infty, 0[ -> R durch m(x)=(f(x))/x definiert. Zeige nun, dass die Funktion m monoton steigend ist.
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Mein Ansatz bis jetzt war die Zuhilfenahme der Eigenschaft von Konvexität, allerdings bin ich da nur mäßig für m(x) weiterhin gekommen:
2 Antworten
Dein Ansatz führt in die richtige Richtung.
Ich lasse mal den Index 1 weg, dann hat man
f(lambda * x) <= lambda * f(x), und nach Division durch lambda * x,
f(lambda * x) / (lambda * x) <= f(x) / x
Das bedeutet
m(lambda * x) <= m(x)
Da dies für alle lambda von 0 bis 1gilt, folgt unmittelbar die Monotonie von m.
Setze doch mal x1 > x0 an, setze in m ein und schau dann ob du die Eigenschaft der konvexen Funktion sinnvoll anwenden kannst.
Das habe ich schon gezeigt, hast du eine Idee, wie ich fortfahren soll?
Ähm, wie ist denn Monotonie definiert?
Soll heißen: Du bist praktisch fertig. Du solltest allerdings Deine Nomenklatur überarbeiten. Es war sehr ungeschickt, in der Herleitung den Namen x₁ zu verbraten. Die Abschätzung gilt ja für jedes x≥0.
Aber dann bist du doch fertig. Du mußt nur noch zeigen das für jedes x0 mit 0 < x0 < x1 ein lambda mit 0 < lambda < 1 existiert so das x0 = lambda*x1.
Schau dir die Indizes nochmal genauer an. Wie Ralphdieter schon geschrieben hat, du musst an deinen Bezeichnungen arbeiten.
Das hatte ich schon probiert, indem ich "\frac{f(x_1}{x_1}\leq \frac{x_2}{x_2}" umgeformt habe, nur die Eigenschaft der Konvexität habe ich nicht einbringen können...