Aufgaben zur Binomialverteilung?

Kann mir vielleicht jemand den rechnerischen Unterschied zwischen a und b erklären. Also wie genau gehe ich an die Aufgaben heran? Welche Formel muss man verwenden?

Answer 1

[MichaelH77]

a)

$\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^9$

hier ist der Treffer nur beim ersten Versuch
im Baumdiagramm ist das genau ein Pfad

b)

$\binom{10}{1}\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^9$

im Gegensatz zu a) gibts hier 10 Möglichkeiten, deshalb die 10 über 1 davor
der Treffer kann beim ersten, zweiten, dritten, ... oder zehnten Versuch auftreten
im Baumdiagram wären das 10 verschiedene Pfade, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben

c)

$\binom{10}{2}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^8$

d)
P(X=0)=...
P(X=1)=... (siehe b)
P(X=2)=... (siehe c)
P(X=3)=...
...
P(X=10)=...
Wahrscheinlichkeiten können mit Binomialdichte bzw. binomialPDF mit dem Taschenrechner berechnet werden

e)
Erwartungswert = n*p =10*1/6 =1,67 also bei 10 Versuchen durchschnittlich 1,7 Treffer

Answer 2

[mihisu]

============ Zu a) ============

Der erste Wurf soll eine 6 sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/6.
Der zweite Wurf soll keine 6 sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6.
Der dritte Wurf soll keine 6 sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6.
Der vierte Wurf soll keine 6 sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6.
[...]
Der zehnte Wurf soll keine 6 sein. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6.

Es ist davon auszugehen, dass die Würfe voneinander stochastisch unabhängig sind. [Klar, die Würfe beeinflussen sich üblicherweise nicht gegenseitig. Und sonst wäre die Aufgabe auch nicht eindeutig lösbar.] Dementsprechend kann man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Würfe miteinander multiplizieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten...

$\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}=\frac{1953125}{60466176}\approx 0\text{,}03230$

[Das kann man auch als Pfadregel für den entsprechenden Pfad in einem Baumdiagramm sehen.]

Statt wie zuvor als 10-stufiges Zufallsexperiment, kannst du das alternativ auch als zweistufiges Zufallsexperiment sehen. Zuerst wirft man 1-mal einen Würfel und es soll „1 Treffer“ geben. Danach wird der Würfel noch 9-mal geworfen und es soll „0 Treffer“ geben.

$\underbrace{{{1}\choose{1}}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{1}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{0}}_{\text{1 von 1 Treffern}}\cdot \underbrace{{{9}\choose{0}}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{0}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}}_{\text{0 von 9 Treffern}}$

$=1\cdot \frac{1}{6}\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^9$

$=\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}=\frac{1953125}{60466176}\approx 0\text{,}03230$

============ Zu b) ============

Hier kannst du einfach mit einer Binomialverteilung mit 1 von 10 Treffern bei (Einzel-)Trefferwahrscheinlichkeit 1/6 rechnen...

${{10}\choose{1}}\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{1}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}=10\cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{9}=\frac{9765625}{30233088}\approx 0\text{,}32301$

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Bzw. könntest du auch erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten für...

• „Nur erster Wurf 6“
• „Nur zweiter Wurf 6“
• [...]
• „Nur zehnter Wurf 6“

... alle gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6 ⋅ (5/6)⁹ haben, und dass sich das Ereignis „Genau einmal 6“ aus diesen Teilereignissen zusammengesetzt gesehen werden kann, sodass man für b) einfach das 10-fache der Wahrscheinlichkeit 1/6 ⋅ (5/6)⁹ aus a) erhält.

[Das kann man auch als Pfadregel für die entsprechenden Pfade in einem Baumdiagramm sehen. Man hat 10 Pfade, die jeweils 1/6 ⋅ (5/6)⁹ liefern, und zusammenaddiert dann insgesamt die Wahrscheinlichkeit 10 ⋅ 1/6 ⋅ (5/6)⁹ liefert.]