Auf der Suche nach Lösungsvektoren eines LGS
Hallo zusammen, in einer Klausur gibt es eine Aufgabe in der ich einige Vektoren zu Lösungsvektoren eines angegebenen linearen-GS ergänzen soll. Mir fehlt dazu irgendwie das "Rezept" um diese Form von Aufgabe anzugehen. Kann mir jemand unter die Arme greifen und helfen?
5 Antworten
Wenn nun etwas schon gerechnet wurde...
Mit Gauß-Algorithmus ergibt die Umformung der Matrix
- 3 2 1 6 4
- 4 4 0 8 8
- 2 1 1 4 2
die Matrix
- 1 0 1 2 0
- 0 1 -1 0 2
- 0 0 0 0 0
also ist die vollständige Lösung des Systems (die Lösungsvektoren sind als Spalten zu denken):
(0 2 0 0) + λ(-1 1 1 0) +µ(-2 0 0 1),
wobei λ und µ frei wählbar sind, in Einzelkoordinaten
- x1 = -λ -2µ
- x2 = 2 + λ
- x3 = λ
- x4 = µ
oder kürzer
- x1 = -x3 -2x4
- x2 = 2 + x3
wobei x3 und x4 frei wählbar sind; diese Gleichungen ergeben mit einfachen Umformungen die restlichen gesuchten Lösungen.
Wenn Du das Gleichungssystem ganz brav nach dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs oder Additionsverfahren löst, ergibt sich die Lösungschar x = - 3t, y = 2 + t, z = t, t = t. für beliebiges t . (Ich habe die Variablen bequemerweise umbenannt.) ZB ist eine mögl. Lösung (- 3 / 2 / 1 / 1), eine andere (0 / 2 / 0 / 0) usw. ---- Man sieht, dass in d) v1 und v2 nicht möglich, aber v3 für t = - 1 existiert.
Du musst erst einmal die allgemeine Lösung des LGS bestimmen. Das geht gut mit dem Gauss Algorithmus. Den kennst Du sicher. Dann musst Du die Freiheitsgrade so wählen, dass die Zahlen der Lösungsvektoren passen.
Ich habe es aber gerade durchgerechnet. Nach Gauss entsteht folgende erweiterte Koeffizientenmatrix:
1 0 1 2 0
0 1 -1 0 0
0 0 0 0 1
Angenommen es liegt kein Fehler vor: Dann steht somit in der letzten Zeile 0•x1+0•x2+0•x3+0•x4=1, was nicht sein kann. Also hat das LGS keine Lösung...
Schau dir das LGS mal an: 2 mal der erste spaltenvektor ist der vierte Spaltenvektor. Und der zweite von dem ersten abgezogen ergibt den dritten. Damit ist der Rang von der Koeffizientenmatrix genau 2. Der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist aber 3. Also kann es gar keine Lösung geben und schon gar keinen Untervektorraum.
Nochmal andersherum: Wenn es ein Lösungsschar gibt, dann kannst Du mir ja sicherlich mal eine Lösung (x1,x2,x3,x4)^T nennen, oder?
Für v1 setzt du -1 für x3 und 2 für x4 in zwei bequem umzuformende der Gleichungen ein (z.B. die zweite und die dritte), so dass zwei Gleichungen entstehen, die nur noch x1 und x2 enthalten. Dann löst du das so entstandene Gleichungssystem auf und erhältst
x1 = -3, x2 = 1.
Die anderen Teilaufgaben funktionieren entsprechend.
Ich erhalte dann 3x + 2y + 7 = 0 und x + y +2 = 0 und 2x + y + 4 = 0 , die sich widersprechen. Was hältst Du von meiner Lösung?
A. Die allgemeine Lösung (s.u.) zeigt, dass zwei beliebige Variablen wählbar sind. Wenn die Aufgabe nicht falsch gestellt ist (und das ist sie nicht), kannst das bereits der Aufgabenstellung entnehmen.
B. Die dritte Gleichung lautet nach Einsetzen von x3 und x4:
2x + y + 5 = 0;
dann hat das System die angegebene Lösun (x = -3, y = 1).
Nach logischem Verständnis werden die 3 Funktionen des LGS für d) einzeln (unterschiedlich) behandelt, sonst käme für x1; x2; x3 und x4 ja immer der gleiche Lösungsvektor heraus!
das gleichungssystem hat eine lösung ...
um genau zu sein eine lösungsschar.
gruß