Abbildung auf Nullvektor?

2 Antworten

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im Thema Mathematik
25.03.2017, 11:38

In der Frage ist nach einer Menge gesucht (die du richtig als den Kern der Abbildung erkannt hast). D.h. in deine Antwort solltest du auch eine Menge schreiben: 

Kern(f) = { (m,-2m,m) | m € R}.

Allerdings hast du bei der Rechnung einen Denkfehler gemacht: Die Matrix, die du verwendest, ist eine darstellende Matrix bezüglich der Basen (b1,b2,b3) und (e1,e2,e3). D.h. deine Ergebnisse sind auch "darstellend" und nicht die Punkte, die tatsächlich im Kern liegen.

Argh ^^ Ich bin überfordert was für eine Matrix hätte ich da nehmen müssen? Bin erst frisch in dem thema.
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@gekkolino

Du musst verstehen, inwiefern Matrizen dasselbe sind wie lineare Abbildungen. Eine "kurze" Erklärung:

Die grundlegende Idee ist, dass die erste Spalte einer Matrix dafür steht, wohin der Vektor (1,0,0) abgebildet wird (mit der Standard Matrixmultiplikation ergibt sich das sofort):

a b c     1     a
d e f  *  0  =  d
g h i     0     g

Entsprechend steht die zweite Spalte für f(0,1,0) und die dritte für das Bild von (0,0,1).

ABER:

Du hast in die zweite Spalte nicht f(0,1,0) geschrieben, sondern f(1,1,0) (ähnlich für die dritte Spalte). Das ist auch ok, solange du weißt, wie du damit umgehst. Allerdings würde es jetzt etwas lange dauern, die Theorie der darstellenden Matrizen zu erläutern.

Stattdessen kannst du einfach f(0,1,0) ausrechnen, indem du die Linearität der Abbildung f ausnutzt. Es gilt:

(0,1,0) = -(1,0,0) + (1,1,0). Wegen der Linearität von f folgt:

f(0,1,0) = - f(1,0,0) + f(1,1,0). Da du f(1,0,0) und f(1,1,0) kennst, kannst du damit auch f(0,1,0) ausrechnen und das Ergebnis in die zweite Spalte schreiben.

Entsprechend gehst du bei der dritten Spalte vor.
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@Melvissimo

also (1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1) ?

sprich die richtige Matrize wäre

1 3 3

2 3 3

3 3 3

weil

(0,1,0) = -(1,0,0) + (1,1,0)

entspricht: (4,5,6) - (1,2,3) = (3,3,3)

und 

(1,1,1) - (1,1,0) = (0,0,1) 
entspricht

(7,8,9) - (4,5,6) = (3,3,3)?
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@gekkolino

Exakt. Das sind ganz schön viele dreien... Und jetzt berechnest du wie gewohnt den Kern dieser Matrix :) 
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@gekkolino

also komme ich auf 

z=m

y = -m

x = 0

man könnte auch schreiben v=(0, -1, 1)

Alle Vektoren welche vielfache von v sind werden auf den Nullvektor abgebildet
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@gekkolino

Jap, und jetzt verpackst du das ganze in eine Menge, damit du auch die Fragestellung beantwortest.

Ich könnte dir auch erklären, wie du mit deinem ersten Ergebnis (m, -2m, m) auf die Lösung gekommen wärst, aber möglicherweise würde es dich auch nur verwirren... Schreib einfach, ob es dich interessiert ;)
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@Melvissimo

Danke aber ich denke das reicht erstmal ^^ Aber vielen Dank für die Hilfe.

Ich habe den selben Aufgabentyp nochmal aber dieses mal in einer anderen Form wo ich  eine Frage zu habe:

F:(x,y,z) --> (x-2y+z , 3x-4y+z, 4x+3y-3z)   

Stell dir die Kommas als Zeilenumbrüche vor

Verstehe ich das richtig, dass ich hier nicht mehr die Standarteinheitsvektoren multiplizieren muss sondern gleich das LGS bilden kann?
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@gekkolino

Wenn du dir unsicher bist, frag dich einfach, wohin die Einheitsvektoren abgebildet werden: Was ist F(1,0,0)? Was ist F(0,1,0)? Was ist F(0,0,1)?

Und du wirst feststellen, dass du in der Tat nicht mehr viel zu tun hast, um das LGS aufzustellen.
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25.03.2017, 11:26

       x  +  4  y  +  7  z  =  0   |   :  z          (  1.1a  )

   2  x  +  5  y  +  8  z  =  0   |   :  z          (  1.1b  )

       x  +  2  y  +  3  z  =  0   |   :  z          (  1.1c  )

     X  :=  x / z  ;  Y  :=  y / z        (  1.2  )

   Anmerkung zu ( 1.1c ) Bei mir würd's ja Strafpunkte hageln ohne Ende; auch Gleichungen sind zu kürzen.

   Wie du siehst, habe ich diesen Divisionstrick; zwei Unbekannte erweisen sich nämlich als beherrschbar. Ich schick aber erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist; es folgt noch ein Teil 2 .

  Die Nummerierung ( a - c ) behalte ich konsistent bei, damit du dich zu Recht findest.

           X  +  4  Y  =  (  -  7  )        (  2.1a  )

       2  X  +  5  Y  =  (  -  8  )         (  2.1b  )

            X  +  2  Y  =  (  -  3  )        (  2.1c  )

  
Mit dem Subtraktionsverfahren ( 2.1a ) - ( 2.1c ) werden wir
unmittelbar geführt auf Y = ( - 2 ) Einsetzungsverfahren liefert X = 1

   Noch nicht benutzt wurde dagegen ( 2.1b ) ; die Probe geht auf.

   Wie bekannt ist ja Division durch Null unzulässig. Mein Trick spürt also nur Kernvektoren mit z > 0 auf. Setzen wir doch mal zur Probe z = 0 in ( 1.1a-c ) Das führt uns aber wieder auf die Koeffizuentenmatrix von ( 2.1ac) Wir konnten uns ja schon oben überzeugen, dass dieses 2 X2 LGS linear unabhängig ist; unschwer auch rechnest du seine Determinante nach: Minus 2 .
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