Wie berechnet man eine ONB?
Hallo alle miteinander...
Ich verzweifele gleich an dieser Aufgabe komplett...weil mir einige Sachen leider nicht ganz so klar sind.
Gegeben sei folgende Basis im IR^4:
Und ich soll einfach eine ONB D: d1,d2,d3,d4 bestimmen, sodass
L(b1) = L(d1)
L(b1,b2) = L(d1,d2)
L(b1,b2,b3) = L(d1,d2,d3)
L(b1,b2,b3,b4) = L(d1,d2,d3,d4)
gilt.
Was bedeutet hier das "L"? Und was ist eine ONB und wie bestimmt man sie überhaupt im IR^4 ? Ich habe so viele Fragen und ich habe leider keine Ahnung, wie ich im Internet die Bedeutung des "L" herausfinden kann.
Vielen Dank im Voraus für die Antworten.
2 Antworten
Das L wird vielleicht die lineare Hülle meinen, d.h. der Spann der Vektoren. Bspw. ist L(b1) einfach die Menge aller k₁*b₁ mit k₁ aus den reellen Zahlen. L(b₁, b₂) sind alle k₁*b₁+k₂*b₂ usw.
Eine Orthonormalbasis ist eine Basis aus Vektoren, die a) die Länge 1 haben und b) paarweise senkrecht zueinander stehen, d.h. das zugrundeliegender Skalarprodukt zweier ONB-Vektoren ist 0.
Man kann eine Basis in eine ONB "verwandeln", und zwar mit dem Gram-Schmidt-Verfahren.
ONB bedeutet Orthonormalbasis, also eine Basis eines Vektorraums, deren Basisvektoren die Länge 1 haben und (paarweise) zueinander orthogonal sind.
Länge und Orthogonalität ergeben aber nur in inneren Produkträumen Sinn, d.h. in Vektorräumen, in denen zusätzlich ein inneres Produkt (= Skalarprodukt) definiert ist, das dann eine Norm induziert. Wenn nicht weiter spezifiziert, versieht man den IR^n dabei in der Regel mit dem Standardskalarprodukt:
Das induziert dann die euklidische Norm
und Begriffe wie Orthogonalität, d.h.
und Normiertheit, d.h.
ergeben Sinn.
Standardverfahren zur Bestimmung einer Orthogonalbasis (für eine Orthonormalbasis muss dann nur noch normiert werden) ist Gram-Schmidt und für die einzelnen Schritte (?) steht vielleicht auch dein L. Gram-Schmidt ist im Wesentlichen aber nur ein stumpfer Algorithmus:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
(viel spannender ist aber natürlich, warum er funktioniert ;-) )
Eine Norm ist eine Verallgemeinerung des Betrages auf beliebige metrische Räume. Normieren bedeutet, den Vektor so zu skalieren, dass er die Länge 1 hat.
Was meinst du mit "dass ein vektor die Länge 1 hat" ? Wie kann ein Vektor die Länge 1 haben ?
Na genau dann, wenn die Norm 1 ist ;-) das ist einfach Definition. Im Anschauungsraum IR^2 bzw. IR^3 entspricht das tatsächlich der Länge, in allgemeineren Vektorräumen spricht man dann einfach von der Länge und meint dabei die Norm. Eine Norm ist einfach eine Abbildung, die jedem Vektor eine Länge zuweist (und bestimmte Bedingungen erfüllen muss). Aber nicht immer sieht man in einer Norm intuitiv tatsächlich eine Länge - es ist eben eine Verallgemeinerung.
Das kommt drauf an, welche Norm auf dem entsprechenden Matrizenraum definiert wurde. Üblich ist bei Matrizen zum Beispiel die Operatornorm, die kannst du mal googlen. Es gibt nicht die Norm, sondern ganz verschiedene. Mit welcher Norm ein Vektorraum versehen wird, gibt man in der Regel vorher an (gerade bei Übungsaufgaben).
MeRoXas hat’s herausgefunden: Es steht für die lineare Hülle, d.h. das Erzeugnis der einzelnen Vektoren. Das macht auch Sinn, weil die ONB am Ende ja auch wirklich dasselbe erzeugen soll wie die Ausgangsbasis.
Was versteht man unter einer linearen Hülle (Spann) genau? Sie ist ein Erzeugnis, oder ?
Wie berechnet man die Lineare Hülle ? Oder kann man sie überhaupt berechnen ?
Na ja, einfach per Definition: Das Erzeugnis von n Vektoren ist die Menge aller Linearkombinationen. Du musst ja nur zeigen, dass die Erzeugnisse gleich sind, das ginge zum Beispiel durch zwei Inklusionen.
Ich verstehe leider nicht, wie ich die Bedingung mit "L" in die Berechnung der ONB von der gegebenen Basis mit einfließen lassen soll (aprospros vielen Dank für deine Hilfe)
Danke Willi, Was ist aber eine Inklusion und wie zeigt man dies durch eine Inklusiuon ?
Na auf jeden Fall muss der erste Vektor schon mal genau der erste der gegebenen Basis sein. Und dann schau mal, was du mit Gram-Schmidt für einen zweiten rausbekommst und wie du ihn ggf. modifizieren kannst, ohne Orthogonalität zu verletzen.
Eine Inklusion ist eine Teilmengen-Beziehung. Um die Gleichheit zweier Mengen A, B zu zeigen, verwendet man oft zwei Inklusionen: Man zeigt, dass A in B und B in A enthalten ist, dann folgt, dass die Mengen dieselben sind.
Was bedeutet Norm oder das Verb "normieren" ?