Anwendungsaufgabe Integralrechnung?

Eine Sonnenblume wird mit einer Große von 0,2m eingepflanzt Ihre Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die Funktion f mit f(t) = 0.27e^-0,147t mit der Zeit t in Wochen und f(t) in Meter modelliert. Geben Sie ihre Größe nach 5 bzw. 10 Wochen an

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

[mihisu]

Da kann etwas nicht stimmen. Wenn die Funktion f die Wachstumsgeschwindigkeit beschreiben soll, so ergibt „f(t) in Meter“ keinen Sinn. Wenn, dann wäre beispielsweise „f(t) in Meter pro Woche“ sinnvoll. [Ich gehe im Folgenden dementsprechend von „f(t) in Meter pro Woche“ aus.]

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Wenn man die Größe zu einem Zeitpunkt τ [in Wochen] mit F(τ) [in Metern] bezeichnet, so erhält man die Größendifferenz F(τ) - F(0), indem man die Wachstumsgeschwindigkeit f(t) im entsprechenden Intervall [0; τ] integriert.

$F(\tau)-F(0)=\int\limits_{0}^{\tau}f(t)\,\text{d}t$

Dies kann man auch daran erkennen, da die Wachstumsgeschwindigkeit f gleich der Änderungsrate (zeitliche Ableitung) der Größe F ist. Bzw. ist umgekehrt dann F eine Stammfunktion zu f. Die Gleichung...

$F(\tau)-F(0)=\int\limits_{0}^{\tau}f(t)\,\text{d}t$

... ergibt sich dann aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Nun kann man das auch nach F(τ) aufgelöst darstellen...

$F(\tau)=F(0)+\int\limits_{0}^{\tau}f(t)\,\text{d}t$

Und mit der vorgegebenen Anfangslänge von F(0) = 0,2 [in Metern] erhält man...

$F(\tau)=0\text{,}2+\int\limits_{0}^{\tau}f(t)\,\text{d}t$

Und mit der vorgegebenen Funktion f(t) = 0,27 ⋅ e^(-0,147t) erhält man...

$F(\tau)=0\text{,}2+\int\limits_{0}^{\tau}0\text{,}27\cdot\text{e}^{-0\text{,}147t}\,\text{d}t$

$F(\tau)=0\text{,}2+\left[0\text{,}27\cdot\frac{1}{(-0\text{,}147)}\cdot \text{e}^{-0\text{,}147t}\right]_{t=0}^{t=\tau}$

$F(\tau)=0\text{,}2+\left(\frac{0\text{,}27}{(-0\text{,}147)}\cdot \text{e}^{-0\text{,}147\tau}-\frac{0\text{,}27}{(-0\text{,}147)}\cdot \underbrace{\text{e}^{-0\text{,}147\cdot 0}}_{=1}\right)$

$F(\tau)=0\text{,}2+\frac{0\text{,}27}{(-0\text{,}147)}\cdot\left(\text{e}^{-0\text{,}147\tau}-1\right)$

Da kann man nun τ = 5 (für die Größe nach einer Zeit von 5 Wochen) bzw. τ = 10 (für die Größe nach einer Zeit von 10 Wochen) einsetzen...

$F(5)=0\text{,}2+\frac{0\text{,}27}{(-0\text{,}147)}\cdot \left(\text{e}^{-0\text{,}147\cdot 5}-1\right)\approx 1\text{,}2$

$F(10)=0\text{,}2+\frac{0\text{,}27}{(-0\text{,}147)}\cdot \left(\text{e}^{-0\text{,}147\cdot 10}-1\right)\approx 1\text{,}6$

Nach 5 Wochen hat die Sonnenblume demnach eine Größe von ungefähr 1,2 Meter.
Nach 10 Wochen hat die Sonnenblume eine Größe von ungefähr 1,6 Meter.

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[Valentin1720653]

😅😅

Answer 2

[DummeStudentin]

f(t) integrieren, einmal im Intervall von 0 bis 5, und einmal von 0 bis 10.

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[lien343]

Danke! Aber wie bilde ich die Stammfunktion von f(t), bei dieser Aufgabe habe ich Probleme...

Answer 3

[Valentin1720653]

Das integral über das Intervall 0-5 bzw 0-10 - die anfangshöhe von 0.2m

Comments

[lien343]

okay dankeschön! aber wie bilde ich die Stammfunktion von f(t), da habe ich Probleme...

[Valentin1720653]

@lien343

Die Funktion e^x ist abgeleitet / integriert sich selbst.

Das hier ist eine Verkettung von f(x) = e^x & g(x) = -0.147t. bedeutet dass du beim ableiten die Kettenregel beachten musst. Leitest du die Funktion ab, dann hast du eine Nachbarleitung -0,147. Wenn du also die Stammfunktion ableitest, muss dieser Faktor * dem was vor der Stammfunktion steht 0.27 ergeben.

Bedeutet, einfach (1/- 0.147) * die Ausgangsfunktion ist deine Stammfunktion.

Wenn du das ableitest, dann verschwindet dieser vorfaktor.

Und dann einfach das Integral bilden, sollte kein Problem sein.

[lien343]

@Valentin1720653

Also habe ich dann richtig verstanden dass die Stammfunktion dann so aussieht: f(x)= 0.27*1/-0,147 e^-0,147t +0,2 und dann 0-5 bzw. 0-10 in t einsetzen oder?

[Valentin1720653]

@lien343

Die +0,2 am Ende nicht (weiß nicht woher die kommen sollen)

Zwar könntest du am Ende ein Faktor vom integral haben, der kürzt sich aber so oder so raus, insofern kannst du ihn auch weglassen oder einfach +c schreiben.

Ansonsten, die Kettenregel beim ableiten ist ja f(g(x)) ist abgeleitet f'(g(x)) * g'(x).

Hier ist -0,147x g(x) und f(x) e^x.

Wenn du deine Stammfunktion jetzt ableitest, dann kürzt sich 1/-0,147 raus, da du mit der Nachbarleitung -0,147 multiplizierst, und du erhältst deine Ausgangsfunktion.

[lien343]

@Valentin1720653

Ich dachte die +0,2 ist für die Sonnenblume Größe die eingepflanzt wurde.. Sonst hat diese ja gar keinen Nutzen...

[Valentin1720653]

@lien343

Dann müsste es -0.2 sein.