Das untere Quartil oder 1. Quartil ist der kleinste Wert, der zusammen mit allen kleineren Werten mindestens 25% der Stichprobe umfasst, und gleichzeitig der größte Wert, der zusammen mit allen größeren Werten mindestens 75% der Stichprobe umfasst. Ob man den Median auch berechnet oder nicht, ist völlig unerheblich. Bei einer Stichprobengröße von 18 ist 25% 4,5, wegen mindestens also der 5. Wert, und die oberen 75% müssen 13,5 Werte enthalten, wegen mindestens also der 14. Wert von oben, was identisch mit dem 5. Wert von unten ist. Hat man hingegen eine Stichprobengröße, die durch 4 teilbar ist wie z.B. 12, dann bilden die untersten 3 Werte genau 1/4, und der 4.-12. Wert, also 9 Zahlen, genau 3/4 der Stichprobe. Sind 3. und 4. Wert nicht gleich, so kann als 1. Quartil nach der genannten Definition jeder Wert zwischen dem 3. und 4. Wert gelten, man nimmt dann praktisch immer, wie es Rammstein53 für den Median getan hat, die Mitte zwischen diesen beiden Werten.

Deine Ausdrucksweise ist übrigens nicht korrekt, der Median ist nicht die 6. und die 7. Zahl, sondern man kann jede Zahl dazwischen, aber nicht die beiden Zahlen selbst (wenn sie nicht dieselben Zahlen sind) als Median nehmen, und nimmt halt meist deren Mittelwert dafür. In diesem Sinne gehört auch nicht die 6. (oder die 7.) Zahl zum Median, sondern der Median liegt bei bzw. über der 6. und bei bzw. unter der 7. Zahl.

Die Zahlen Q1, Median (=Q2) und Q3 werden völlig selbständig berechnet und dann in den Boxplot eingetragen.

a sei die 1. Ziffer, also gesucht ist eine Zahl x<1000 mit x = 100a + 10*2a + (2a)/3. Da (2a)/3 eine ganze Zahl <10 sein soll, muss 2a und damit a durch 3 teilbar sei, also 3, 6 oder 9. Da aber auch 2a eine ganze Zahl <10 sein soll, bleibt nur 3, damit x=362

Siehe erst mal meinen Kommentar zu Freeeed. Und dann hängt die Antwort vom Herstellungsprozess ab. Wenn Hülsen und Minen unabhägig von einander hergestellt werden, was wahrscheinlich der Fall ist, dann sind die Fehlerhaftigkeiten auch unabhängig, solange der Zusammensteckprozess "blind" durchgeführt wird, das ist ja wg. "Ohne zu wissen, ob die beiden Teile in Ordnung sind" der Fall.

Dann rechnet man mit P(neH)=10%, P(eH)=90%, P(neM)=5%, p(eM)=95%:

P(neH und neM) = P(neH) * P(neM) = 0,5%
P(neH und eM) = P(neH) * P(eM) = 9,5%
P(eH und neM) = P(eH) * P(neM) = 4,5%
P(eH und eM) = P(eH) * P(eM) = 85,5%

Bernoulli-Experiment wird auch Binomial-Experiment genannt, aus Bi griechisch für 2, da es 2 mögliche Ausgänge hat.

Man definiert auch Multinomial-Experimente aus lateinisch Multi für vielfach mit mehr als 2 Ausgängen, wie z.B. ein Fußballspiel mit Deinen genannten 3 Ausgängen. Auch Fußballspiele mit einzelnen Ausgängen, sagen wir mit maximal 12 Toren für jede Seite, wäre ein Multinimial-Experiment mit 13²=169 Ausgängen. Klar ist hier, dass da eine Maximalzahl von Toren festgelegt werden muss, sonst wüsste man ja nicht, wieviele Möglichkeiten es theoeretisch gäbe.

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, die nur ganzzahlige Werte annimmt. Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, die jeden Wert annehmen kann, und sie nähert sich der Binomialverteilung bei entsprechend großem n an. Für die Binomialverteilung ist P(X>=9,44) = P(X>=10), für die Normalverteilung nur näherungsweise. Ich würde aufgrund der Ungenauigkeit der Annäherung lieber den größeren Bereich 9,44<=X<=15,56 zugrundelegen, um auf der sicheren Seite zu sein.

φ ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Auch nein wie Zwieferl, aber genauer:

die Dichte φ ist y-achsensymmetrisch, φ(x)=φ(-x) (das ist in etwa Deine Zeichnung), und deren Integral, die Verteilungsfunktion Φ, ist punktsymmetrisch zum Punkt (0;1/2).

Ansonsten stimme ich der Antwort von Clemens1973 zu.

"ich hab den Hypothesen test eigentlich komplett durchdrungen" - Das glaube ich nicht. 2 Argumente:

1. Du nennst das Komplement des Ablehnungsbereichs Annahmebereich (viele andere tun das auch irrtümlicherweise). Wenn die 0-Hypothese nicht abgelehnt wird, heißt das noch lange nicht, dass sie angenommen wird. Man hat nur nicht genügend Grund gefunden, sie abzulehnen (z.B. Stichprobe zu klein). Um die 0-Hypothese "anzunehmen", müsste man 0- und Alternativhypothese vertauschen, und dann braucht man für diese neue 0-Hypothese ein Signifikanzniveau und einen dazu gehörigen Ablehnungsbereich. Einen solchen Ablehnungsbereich hast Du ja nur für die ursprüngliche 0-Hypothese festgelegt. Für die "Annahme" der 0-Hypothese fehlt Dir jede Fehlerwahrscheinlichkeit.
2. Dein Ablehnungsbereich und sein Komplement überlappen sich. Wenn Du genau 5% als Fehlerwahrscheinlichkeit erreichst, lehnst Du gleichzeitig ab und nicht ab. Entweder umfasst Dein Ablehnungsbereich alle Ws <5% und Dein Nicht-Ablehnungsbereich alle Ws >= 95%, oder umgekehrt <=5% und >95%%. Üblich ist hier glaube ich die 1. Version

Schreib Dir alle Möglichkeiten auf:

1,1
1,2
1,3
...
2,1
2,2
2,3
...

Das sind insgesamt 36. 5 davon ergeben 14.a). Denn die 36 sind alle gleichwahrscheinlich, 1/36.

Um das Dir schneller klarzumachen, nimm einfach einen theoretischen 3er-Würfel mit A:1, B:keine 1

Bei b) hast Du sicher gesehen - ich unterstelle das mal - , dass f=g-h ist. Du musst also ablesen, wo g-h=0 ist, was ja geleichbedeutend ist mit g=h. Also musst Du die x-Werte an den Schnittpunkten von g und h ablesen.

Die gemeinte Umformung kann eigentlich nur sein f(x) = x² - (2x-3) = g(x)-h(x)

Du musst zeigen, dass bei einer Stichprobe von 468 Personen die Anzahl 178 (entspricht 38,034%) oder mehr lieber mobil zahlender Personen bei einem Verhältnis in der Grundgesamtheit von 25% eine Wahrscheinlichkeit von weniger als 5% hat. Das ist dann ein rechtsseitiger Binomialtest mit n=468, k=178 und p=0,25. Das kann man ja heutzutage mit Taschenrechnern lösen. Da bin ich kein Spezialist.

Inhaltlich heißt das, alle Ws für k=178, 179, 180, ..., 468 aufaddieren bei einem Erwartungswert für k von 25% oder 117 Personen. Mit Excel berechnet ist diese aufsummierte Ws = 3,2927E-10, ausgeschrieben 0,00000000032927, also weit unter 0,05=5%.

Und für Aufgabe b) natürlich auch weit unter 1%=0,01 und sogar unter 1 Promille = 0,1%=0,001, was auch gelegentlich verwendete Signifikanzniveaus sind. Auch wenn man ein Signifikanzniveau von 1E-9 = 0,000000001 = 0,0000001% verwenden würde (was man praktisch nie macht), könnte man die Nullhypothese, bei den 18-26jährigen sei der Anteil gleich oder geringer als in der Gesamtheit, verwerfen

200 Erwachsene spielen ein Instrument. 20% der Erwachsenen, d.h. 20 pro 100 (pro Cent lateinisch heißt pro 100), spielen ein Instrument, bei 1000 sind 20% aber genau 200. Also gibt es 800 Erwachsene, die kein Instrument spielen.

Von 300 Instrümentalisten sind 100 Kinder, d.h. 1/3. 1/3 von 100 (um auf pro Cent zu kommen) sind aber 33,Periode3, also zu 33,333...% ist der zufällig ausgewählte Instrumentalist ein Kind

Sandmann211 hat im Prinzip recht, nur ist die angegebene Lösung im Lösungshinweis falsch in gängiger mathematischer Schreibweise. Die eine Teilmenge in M5 ist ein offenes Interval in runden Klammern, d.h. die Endpunkte sind nicht mit drin, (10,∞) enthält die Zahlen 10 und ∞ nicht. Ich nehme an, R₊ soll ∞ nicht enthalten (da sind die Bezeichnungen glaube ich nicht standardisiert), also rechts ist die runde Klammer korrekt, aber links soll ja die 10 mit drin sein, also die Lösung muss sein
M5={1}∪[10;∞) mit der eckigen Klammer links. Für die runde Klammer links müsste die Bedingung lauten: x≤10

Die Standardabweichung (egal ob empirisch oder nicht) soll immer sowas zeigen wie eine mittlere Abweichung vom Mittelwert, auch Streuung.

Wenn man auf die Idee käme, was ja naheliegt, die Abweichungen vom Mittelwert selbst zu mitteln, bekäme man ja immer 0, da der Mittelwert ja gerade so definiert ist. Negative und positive Abweichungen gleichen sich aus. Um alle Abweichungen positiv zu zählen, nimmt man nun die Quadrate der Abweichungen und mittelt diese. Das ist dann die Varianz. Dadurch hätte man aber z.B. m² statt m ich sag mal für die mittlere Körpergröße, deshalb zieht man nun noch die Wurzel um bei der gleichen Maßeinheit zu landen, und dies ist die Standardabweichung.

Der Zwischenschritt der Quadrierung der einzelnen Abweichungen hat noch einen anderen Vorteil, den die alternative Idee, einfach die Beträge zu nehmen (als MAD bezeichnet, mean absolute deviation, nicht etwa Militärischer AbschirmDienst), nicht hat, Du wirst es später in Deiner Vorlesung mitbekommen, man kann damit nämlich Effekte z.B. in der Varianzanalyse addieren oder auch auseinander nehmen.

Ein Fakt in einer Statistik ist zunächst einmal der Wert jedes einzelnen Subjektes der Statistik, sei es die Antwort eines Befragten auf eine Frage, sei es der Umsatz eines Unternehmens im letzten Jahr, sei es die Haarfarbe oder die Körpergröße oder die Abiturnote eines Schülers. In einer Stichprobe sind meist viele Subjekte erfasst, über die dann eine Statistik (MW, Varianz, Häufigkeit, ...) gemacht wird. Hier wird es schon schwieriger, z.B. ob für alle Subjekte die Erfassung unter den gleichen Bedingungen stattfand. Aber im Prinzip ist dann diese Statistik ein Fakt, der in DIESER Stichprobe Realität ist.

Aber in der Regel will man mit den Ergebnissen einer Stichprobe auf die Realität in einer größeren Grundgesamtheit schließen. Da muss man schon sehr genau drauf achten, dass die Stichprobe in Bezug auf relevante Parameter die Grundgesamtheit gut repräsentiert (z.B. gleiches Geschlechterverhältnis in Grundgesamtheit und Stichprobe). Da sind ansonsten unbe- und gar be-absichtigten Fälschungen Tür und Tor geöffnet. Hinzu kommt, dass man auch in einer gut repräsentativen Stichprobe mit einer geringen Wahrscheinlichkeit deutlich andere Ergebnisse als in der Grundgesamtheit bekommen kann. Das nennt man die Fehlerwahrscheinlichkeit, für die man, wenn man sie klein halten will, entsprechend größere Stichproben planen muss.

Wenn man z.B. 2 unterschiedliche Aussagen bekommt wie x% und y% der Deutschen blablabla, sollte man überprüfen, wie unterschiedlich beide Aussagen zustande gekommen sind.

Auch Begrifflichkeiten könnten Probleme bereiten, Unklarheiten erweisen. "Im Mittel" könnten arithmetischer Mittelwert oder Median sein etc.

Alles in allem kann man Statistiken m.E. nur mit äußerster Vorsicht als Fakt bezeichnen.

Wenn Du die 4-Felder-Tafel hast, dann siehst Du, dass 85 der 100 Kinder, also 85% gerne Ball spielen. Wenn Du jetzt auf die Mädchen bedingst, siehst Du dass 50 der 60 Mädchen gerne Ball spielen, also 50/60=83,33%. Dies ist dann die bedingte Ws, eben Ws(Ball) unter Bedingung Mädchen. Du betrachtest praktisch die Teilgruppe Mädchen als 100%.

Ebenso kannst Du das Geschschlecht auf die Ballspieler bedingen, von 85 Ballspielern sind 35 Jungen. also 35/80=43,75%. Das ist die Ws(Junge) unter Bedingung gerne Ballspieler

Lies mal genau. In c) steht zusätzlich, d.h. es kann ja nur zusätzlich zu a) sein. Nach a) sind 420 der 1500 Schüler weiblich und unter 17 (also 16, da unter 16 nicht wahlberechtigt), in der 300er Stichprobe also 420/1500*300=84. Von denen 60% sind auf dem Gymnasium, d.h. 84*60/100=50,4, also gerundet 50 16jährige Gymnasiastinnen gehören in die repräsentative Stichprobe.

Da alle Rand-Ws gegeben sind, braucht man ja nur noch die eine bedingte Ws P(V|Z), sprich P von V gegeben Z, (0,4) mit P(Z) (0,1) zu multiplizieren um die Felder-Ws P(V∩Z) zu ermitteln und erhält dann die 3 anderen Felder-Ws durch sukzessives Subtrahieren. Das Problem gleich mit einem Baum anzusetzen, verwirrt mich mehr.

Bis zum 1. Quartil (untendrunter bis einschließlich) liegen mindestens 25% der Werte, obendrüber (und einschließlich) 75% der Werte. Bei n=14 sind das eigentlich die 3,5 kleinsten und die 10,5 größten Werte, also da mindestens 25% und mindestens 75%, die 4 kleinsten und die 11 größten Werte, also 11. Bis zum 2. Quartil (der Median) liegen die mindestens 50% kleinsten Werte, also 7 Werte, oberhalb auch, Die 7 kleinsten Werte sind die von 2 bis 19, die 7 größten die von 22 bis 71. Damit kann man als Median jede Zahl zwischen 19 und 22 nehmen, meist nimmt man die Mitte, also 20,5. Der Unterschied zum 1. Quartil ist, dass die 7 kleinsten und die 7 größten Werte sich nicht überlappen. Damit gilt die Aussage mindestens 50% von unten für alle Zahlen ≥ 19, und die Aussage mindestens 50% von oben für alle Zahlen ≤ 22, die gemeinsame Aussage also für alle Zahlen zwischen 19 und 22 einschließlich. Beim 1. Quartil überlappen sich die 4 kleinsten und die 11 größten bei 11, also ist dort nur die 11 die einzig mögliche Antwort. (Dass die 11 doppelt vorkommt, spielt hier keine Rolle; wenn die 3.kleinste Zahl 8, 9 oder 10 wäre, wäre genauso 11 das 1 Quartil.) Entsprechend liegt das 3. Quartil da, wo sich die 4.größte und die 11.kleinste Zahl treffen, bei 27, denn wieder müssen mindestens 75% aller Zahlen, also 10,5 bzw dann 11, unterhalb bis einschließlich dem 3. Quartil liegen, und 25% also 3,5 bzw. dann 4 oberhalb bis einschließlich.

Schau Dir noch mal meinen letzten Kommentar zu Deiner vorigen Frage an. Wenn Du den nicht verstehst, kommst Du hier auch nicht weiter.

Wenn Du behauptest a_n=a_n-1+n-2, dann folgt daraus eine einziges n, nämlich n=3. Ziehe a_n von beiden Seiten ab, Du erhältst 0=0-1+n-2, also 0=n-3, also n=3. Nix mehr mit Folge.

Du erhältst vielmehr das n-te Glied a_n, in dem Du das vorherige, nämlich (n-1)te Glied a_n-1 nimmst, und die Nummer des vorherigen Gliedes, nämlich n-1, verdoppelst und dazuzählst.

Leider ist schon wieder Deine Lösungsangabe unvollständig, Du hast nicht den Anfang angegeben. also:

a_n = 0 für n=1,
a_n = a_n-1 + 2*(n-1) für n>1
ist die Lösung. Die 1.ten Glieder:

n=1: a_n=a₁=0,

n=2: a_n=a₂=a_n-1 + 2*(n-1)=a_2-1+2*(2-1)=a₁+2 = 0 + 2 = 2

n=3: a_n=a₃=a_n-1 + 2*(n-1)=a_3-1+2*(3-1)=a₂+4 = 2 + 4 = 6

n=4: a_n=a₄=a_n-1 + 2*(n-1)=a_4-1+2*(4-1)=a₃+6 = 6 + 6 = 12

n=5: ...

Man möchte eigentlich die Alternativhypothese testen, ein Beispiel aus der klinischen Forschung: Man entwickelt eine neue Substanz und möchte testen, ob sie besser wirkt als die alte (oder als Placebo). Man will aber sicher gehen, dass man sich nicht fälschlicherweise für die neue Substanz entscheidet, deswegen setzt man die Statistik so auf, dass wenn in Wahrheit die neue Substanz gleich gut oder schlechter ist, ein Ergebnis unwahrscheinlich wird, das die neue Substanz favorisiert, und zwar oft mit dem 5%-Niveau (1%-Niveau, 10%-Niveau), d.h. unter der 0-Hypothese (in Wahrheit gleich gut oder schlechter) werden erwartungsgemäß von 100 Stichproben nur 5 (1, 10) die Überlegenheit zeigen. Mit diesen 5% (1%, 10%) argumentiert man, es ist so unwahrscheinlich, dass die 0-Hypothese wohl nicht stimmt. Natürlich kann man trotzdem falsch liegen, eine Statistik, die nur eine Stichprobe und nicht die volle Population (hier alle Kranken auf der Welt) umfasst, weicht immer ab von der Gesamtpopulation.

Allerdings, Du fragtest nach einem 2seitigen Hypothesentest, ich habe Dir ein 1seitiges Beispiel genannt. 2seitig wäre, wenn die 0-Hypothese die Gleichwertigkeit des neuen Medikaments behauptet, die Alternativhypothese wäre dann: besser oder schlechter - macht wenig Sinn in der klinischen Forschung, wird aber trotzdem oft so aufgesetzt. Bei dem fairen Würfel von Halbrecht ist der 2seitige Test allerdings genau der richtige. Mich interessiert nicht allein, ob die 6 zu oft vorkommt, und auch nicht allein, ob sie zu selten vorkommt, sondern nur, ob der Würfel irgendwie gezinkt ist. Wenn eine Zahl zu oft vorkommt, muss eine andere zu selten vorkommen, bzw. die Würfe aller anderen 5 Zahlen zusammengenommen zu selten.