Zweite Runde?
Eine Laufbahn 400m lang. Ein Sportler läuft insgesamt zwei Runden: in der ersten Runde darf er so schnell laufen wie er möchte (v1). Die Geschwindigkeit der zweiten Runde ist unbekannt (v2).
was ist die Geschwindigkeit der zweiten Runde, wenn die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden Runden das doppelte der ersten Runde ist?
3 Antworten
Es gibt keine Lösung, man dürfte für die 2. Runde keine Zeit brauchen.
Es geht um den Durchschnitt der Geschwindigkeit über der Zeit, also ∫v(t) dt / T. Man könnte es bestimmt auch über den Weg konstruieren als ∫v(s) ds / S.
Um die Geschwindigkeit geht es dabei sowieso.
Die Länge der Bahn ist egal
Dann haben wir noch
als Ausgangsformel:
(v1 + v2)/2 = 2 * v1 | *2
v1 + v2 = 4 * v1 | - v1
v2 = 3 * v1
Die Zeiten sind unterschiedlich, also darf man nicht einfach v1 und v2 addieren und durch zwei teilen :)
"Die Geschwindigkeit beider Runden ist das doppelte der ersten Runde"
(v1 + v2)/2 ist der Durchschnitt der beiden Runden, 2 * v1 stellt das doppelte sicher. Da die Einheiten gleich sind ist das sehr gut möglich.
Mathematisch gerechnet natürlich logisch, aber deine formel ist hier nicht anwendbar: v1+v2/2 gilt nur, wenn die Zeiten gleich lang sind. Da die Geschwindigkeiten unterschiedlich sind, ist das allerdings nicht möglich —> der Läufer läuft zwar gleiche Strecken, aber nicht gleiche Zeiten. Kurzes Beispiel zur Veranschaulichung: v1= 10m/s; v2= 30m/s . Strecke pro Runde 400m —> gesamte Strecke 800m = 400/10 =40; 400/30=13,333. Gesamtzeit also: 53,33s. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt also 15 m/s. Was wäre also wenn man einfach sagen würde: v1+v2/2 = 10+30/2 = 20m/s? Das wäre falsch, weil es ignoriert wird, dass v1 viel länger unterwegs war als v2. Das verzerrt also den echten Durchschnitt. Wenn die Strecken gleich sind, also beide 20km/h, würde es klappen.
Ich glaube es gab eine Misskommunikation, meine richtige Formel wäre die unterste also v2 = 3 * v1. Bei deinem Ansatz zur Wiederlegung meiner Formel hast du v2 angenommen, während du v2 berechnen möchtest. Das ist Sinnfrei.
Deine Gleichung ist zwar ist mathematisch korrekt, aber sie beschreibt nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit über zwei gleiche Streckenabschnitte, sondern über zwei gleiche Zeitabschnitte. Und das ist nicht die physikalische Situation in unserer Aufgabe. Zudem wäre v2 = 3v1 korrekt, wenn beide Runden gleich lang in der Zeit wären, also z. B. 10 Sekunden in Runde 1, 10 Sekunden in Runde 2. dann könnte man sagen: v1+v2/2. Aber: In der Aufgabe steht nichts über die Zeit, sondern die Strecke ist konstant (zwei Runden à 400 m), und die Zeit hängt vom Tempo ab.
das sollte der richtige Ansatz sein
:v1*t1 = 400
v2*t2 = 400
.
800/(t1+t2) = 2*v1
.
Als LGS
xy = 400;
zw = 400;
800/(y+w) = 2*x
aber ohne Lösung
Das ist genau richtig! Die Aufgabe zeigt dir, dass man mit diesen Bedingungen auf ein System kommt, das sich nicht mehr sinnvoll lösen lässt, ohne auf extreme werte zu stoßen – das ist genau der Punkt des Paradoxons.
Wieso das denn ?
Runde 1. 2 km/h
Runde 2. 6 km/h
Durchschnittliche Geschwindigkeit 4 km/h = doppelt so schnell wie Runde 1