Zahlenschloss - Wahrscheinlichkeit berechnen?
13.
Es soll zufällig eine vierstellige Zahl aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 gebildet werden, bei der jede der Ziffern mehrmals vorkommen darf.
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
B: Die gebildete Zahl endet auf 2.
d.h. es ist egal welche Ziffer an der ersten, zweiten und dritten Stelle kommt. Hauptsache die letzte ist eine 4
P(B) = 1 * 1 * 1 * 0,25 = 0,25
DIe Lösung ist aber 11%.. Was ist mein Denkfehler?
3 Antworten
Entweder ist die angegebene Lösung falsch oder die Aufgabe falsch dargestellt. Wenn die ersten vier Ziffern keine Rolle spielen, reicht es, die letzte zu betrachten. Da ist die W.keit 1/4.
Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisses A, dass die vierstellige Zahl, eine 2 am Ende enthält.
|A|=3^3, da der letzte Platz fix ist, hat man nur noch jeweils 3 Zahlen für 3 Plätze.Wenn die 2 auch hier schon vorkommen darf, hat man 4 Ziffern für die 3 Plätze.
Meiner Meinung nach ist die "Lösung" falsch (soll ja auch mal vorkommen). Der letzte Platz ist fix, da stimme ich zu. Die drei Plätze davor können nach Aufgabenstellung aber mit 4 Ziffern besetzt werden, da die 2 hier ja nicht ausgeschlossen wird. 4^3/4^4 = 1/4
Die letzte Position ist 2, daher Wahrscheinlichkeit 1/9 (1 günstige, 9 mögliche)
P(B)=1·1·1·¹/₉=11,1%
Es muss 1/4 sein, da man sonst nicht auf 1/1 kommen würde wenn man die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.
Es gibt bei der letzten Zahl nur 4 Möglichkeiten, nicht 9. 1, 2,3 oder 4.
Das heißt Mathematisch ausgedrückt:
4^4 Gesamtzustände. Jeder Zustand hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/(4^4) gebildet zu werden.
4^3 Zustände erfüllen die Vorraussetzung [Letzte Zahl=2]
Nämlich XXX2, also alle Zustände mit ner 2 am Ende (logisch, oder?)
Das heißt endgültige Wahrscheinlichkeit beträgt 1/(4^4)* 4^3 (Anzahl der "richtigen" Zustände).
Ergebnis=1/4
So wird es in der Aufgabe begründet:
Es gibt 4^4
Möglichkeiten aus 4 Zahlen eine vierstellige Zahl zu bilden.
Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisses A, dass die vierstellige Zahl, eine 2 am Ende enthält.
|A|=3^3
, da der letzte Platz fix ist, hat man nur noch jeweils 3 Zahlen für 3 Plätze.
Bestimme nun die Wahrscheinlichkeit mit der Formel:
P(A)=3^3/4^4=27/256=0,11=11%
Aber wie gesagt verstehe meinen eigenen Denkfehler nicht..
Wie kommen sie auf 1/9???
Da roromoloko ausdrücklich darauf hinweist, dass die Lösung 11% ist, habe ich angenommen, dass es sich bei
"d.h. es ist egal welche Ziffer an der ersten, zweiten und dritten Stelle kommt. Hauptsache die letzte ist eine 4" um einen Tippfehler handelt: es sollte wohl "2" sein
Also ist meine Rechnung sehr wohl richtig.
Deine Überlegung mit den Gesamtzustände 4⁴ ist insofern falsch, als es ja für jede Position 9 Möglichkeiten gibt und nicht 4 → daher ist die Gesamtzahl aller möglichen Einstellung 9⁴ → d.h. (ich "kopiere" deinen Text mit den richtigen Zahlen):
Das heißt Mathematisch ausgedrückt:
9^4 Gesamtzustände. Jeder Zustand hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/(9^4) gebildet zu werden.
9^3 Zustände erfüllen die Vorraussetzung [Letzte Zahl=2]
Nämlich XXX2, also alle Zustände mit ner 2 am Ende (logisch, oder?)
Das heißt endgültige Wahrscheinlichkeit beträgt 1/(9^4)* 9^3 (Anzahl der "richtigen" Zustände).
Ergebnis=1/9
Liebe Grüße 😎
Jetzt nach deinem Kommentar fällt mir auf: Ich habe noch einen Denkfehler begangen.
Ich dachte - wegen "jede Zahl darf mehrmals vorkommen" - dass an jeder Stelle diese vier Ziffern zur Verfügung stehen → diese Annahme ist offensichtlich falsch.
Es dürfte so gemeint sein, dass die 4 Ziffern vor dir liegen (zB. als numerierte Steine o.ä.) und du bildest mit diesen 4 vierstellige Zahlen:
Wenn also die letzte Ziffer 2 sein soll, dann stehen für die anderen Stellen nur mehr die Zahlen 1,3,4 zur Verfügung.
Da alle Ziffern öfters vorkommen, ist die Anzahl der Möglichkeit (d.i. die Mächtigkeit) 3³ (3 Ziffern, 3 Stellen).
Die Gesamtanzahl aller möglichen Kombinationen 4⁴ (4 Ziffern, 4 Stellen).
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich nach Laplace aus "Günstige ÷ Mögliche → also 3³/4⁴ = 0.105469 ≈ 11%.
Nochmals großes "SORRY!" für meine falschen Antworten.
"SORRY!" Ich habe einen Lesefehler begangen!
Ich habe assoziert, dass alle Ziffern außer 0 vorkommen.
Daher ist natürlich 1/9 falsch!
FrankCZa hat natürlich Recht, da ja nur 4 Ziffern verwendet werden.
Möglicherweise bezieht sich die angegebene Lösung auf 9 Ziffern (wie ich im ersten Moment angenomen habe).
Hier die Aufgabe plus Lösung:
https://de.serlo.org/mathe/stochastik/wahrscheinlichkeit/laplace-wahrscheinlichkeiten/5357
Wenn die letzte Ziffer eine 4 ist, kann die Zahl nicht auf 2 enden.
wenn die ersten drei Ziffern egal sind und es bei der letzten vier Möglichkeiten gibt, komme ich auch auf 25%
Hier die Aufgabe plus Lösung:
https://de.serlo.org/mathe/stochastik/wahrscheinlichkeit/laplace-wahrscheinlichkeiten/5357