Wurzel ziehen aus Gleichungen aber nicht aus Termen?
Warum ist es erlaubt die Wurzel zu ziehen bei Gleichungen wie
aber nicht bei Termen wie
4 Antworten
Dein Beispiel sagt klar , was gemeint ist . Jedoch lässt sich aus Wurzel(-125) eh keine Wurzel ziehen, weil es keine r e e l l e Zahl gibt , für die x² = -125 gilt.
.
Aber mit kommt man schon weiter .
x³ = -125 ist erlaubt ,weil -5*-5*-5 = -125 ist . Da gibt es keine Probleme
Aber bei in Potenzschreibweise : (-125)^(1/3) kann man erlaubterweise auch (-125)^(1*2/3*2) = (-125)^(2/6) draus machen , anders ((-125)^2)^(1/6) = +125*125 und draus die sechste Wurzel ist nun plötzlich + 6
Wenn in der Mathematik eines herrschen soll (außer Verstand und Logik) : dann kein Widerspruch . Was könnte man hier machen ? Die Potenzgesetze anpassen an Sonderfälle ? Nope ! Da bleibt es bei dem , was du als Frage hast : Gleichungen ja , Terme nein .
mit kommt man schon weiter ....
FALSCH! Wurzeln (auch solche mit ungeradem Wurzelexponent) aus negativen reellen Zahlen werden grundsätzlich gar nicht definiert !
Man kann aber z.B. etwa sagen: die Gleichung x^3 = -125 hat die reelle Lösung
x = -5 = - (125^(1/3))
(sorry, habe nicht herausgefunden, wie man das hier mit Wurzelsymbol schreiben kann ...)
Gibt unterschiedliche Positionen
Die Gleichung hat eine eindeutige Lösung
Aber bei
-5 = 3.w(-125) = 6.w((-125)^2) = +5 ...... Widerspruch
gibt es Probleme wie man sieht, wenn man gewisse wurzelgesetze anwendet
Erlaubt ist es in beiden Fällen man muss nur aufpassen, dass die Quadratwurzel einer negativen Zahl eine imaginäre Zahl und keine reelle Zahl ist.
Das ganze ist aber unabhängig davon ob du eine Gleichung lösen willst oder ob du einen Term einfach so stehen hast.
Rein theoretisch geht beides
Kommt immer auf die Definition darauf an, in R kann es je nachdem zu Problemen kommen, spätestens mit C gibt's keine Probleme mehr