Wie kann ich das beweisen?

Es ist ja so, dass sqrt.(x * y) = sqrt.(x) * sqrt.(y)

Also Wurzel aus (x * y) = Wurzel aus (x) * Wurzel aus (y)

Aber warum ist das so? Wie kann man das beweisen?

Answer 1

[mihisu]

Erst einmal sollte man evtl. noch erwähnen, dass das nur für nicht-negative Zahlen x, y gilt. Für negative Zahlen wäre √(x) bzw. √(y) gar nicht definiert.

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Für alle nicht-negativen reellen Zahlen x, y gilt:

$\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$

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Nun zur eigentlichen Frage, warum das so ist. Dafür würde ich den folgenden Beweis liefern...

Seien x, y beliebige nicht-negative reelle Zahlen.
Dann ist offensichtlich auch x ⋅ y eine nicht-negative reelle Zahl, da ein Produkt nicht-negativer reeller Zahlen wieder eine nicht-negative reelle Zahl ist.

Nach Definition der Quadratwurzel wird mit √(x ⋅ y) diejenige nicht-negative reelle Zahl w bezeichnet, für die w² = x ⋅ y gilt. Um nachzuweisen, dass √(x ⋅ y) = √(x) ⋅ √(y) ist, muss man also zeigen, dass √(x) ⋅ √(y) eine nicht-negative reelle Zahl ist und (√(x) ⋅ √(y))² = x ⋅ y gilt.

• Nach Definition der Quadratwurzel sind √(x) und √(y) insbesondere nicht-negative reelle Zahlen. Da das Produkt nicht-negativer reeller Zahlen wieder eine nicht-negative reelle Zahl ist, ist dann auch √(x) ⋅ √(y) eine nicht-negative reelle Zahl.
• Es ist (√(x) ⋅ √(y))² = √(x) ⋅ √(y) ⋅ √(x) ⋅ √(y) = √(x) ⋅ √(x) ⋅ √(y) ⋅ √(y) = √(x)² ⋅ √(y)² = x ⋅ y. Dabei wurde im letzten Schritt verwendet, dass nach Definition der Quadratwurzel √(x)² = x und √(y)² = y ist.

Comments

[NeilderMensch]

Danke!

Aber eine Sache noch: Wenn die Diskriminante Negativ ist, wäre die Wurzel ja eine Komplexe Zahl. Gilt das auch für Komplexe Zahlen?

[mihisu]

@NeilderMensch

Kurze Antwort: Nein.

Längere Antwort...

Es gibt Leute, die im Rahmen der komplexen Zahlen gar nicht von „der“ Quadratwurzel einer negativen Zahl reden.

In den reellen Zahlen gibt es beispielsweise mit x = -3 und x = 3 zwei verschiedene Lösungen der Gleichung x² = 9. Es gibt also quasi zunächst quasi zwei 2-te Wurzeln der Zahl 9. Aus Gründen der Eindeutigkeit möchte man jedoch mit √(9) nur eine bestimmte der beiden Zahlen bezeichnen. Und da wird festgelegt, dass man mit √(9) immer die entsprechende nicht-negative Zahl 3 meint und bezeichnet das dann als „die Quadratwurzel von 9“.

Wie ist das nun, mit negativen Zahlen, also wenn man beispielsweise -9 statt 9 hat? Die Gleichung x² = -9 hat im Rahmen der komplexen Zahlen die beiden Lösungen x = 3i und x = -3i. Welche dieser beiden Lösungen würde man nun mit √(-9) bezeichnen? Keine der beiden Zahlen 3i oder -3i ist positiv, sodass man nicht die gleiche Regel wie in den reellen Zahlen verwenden kann, welche der beiden Zahlen man mit √(-9) meint.

Einige Mathematiker lassen √(-9) einfach weiter undefiniert. Viele Mathematiker definieren einen sogenannten Hauptwert der Quadratwurzel, welcher im konkreten Fall dann √(-9) = 3i wäre.

Wie dem auch sei. Egal ob man √(-9) = 3i oder √(-9) = -3i definiert bzw. definieren würde... Die Rechenregel √(x ⋅ y) = √(x) ⋅ √(y) gilt dann nicht mehr in den komplexen Zahlen. Das kann man beispielsweise an dem folgenden Widerspruch sehen, den man erhalten würde...

9 = √(9²) = √(81) = √((-9) ⋅ (-9)) = √(-9) ⋅ √(-9) = 3i ⋅ 3i = 9i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Bzw. wenn man alternativ (was keiner, den ich kenne, machen würde) √(-9) = -3i definieren würde...

9 = √(9²) = √(81) = √((-9) ⋅ (-9)) = √(-9) ⋅ √(-9) = (-3i) ⋅ (-3i) = 9i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Jedenfalls würde man dann 9 = -9 erhalten, was offensichtlich falsch ist.

[NeilderMensch]

@mihisu

Danke!