Parameter aus Wurzel ausklammern?

Wie kann ich einen Paramter aus einer Wurzel ausklammern.

Bsp. Wieso gilt:

sqrt(n^2+3n) = n * sqrt(1 + (3/n))

Answer 1

[mihisu]

Bedenke: Für a ≥ 0 und b ≥0 gilt...

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Bedenke: Für n ≥ 0 gilt...

$\sqrt{n^2}=n$

=============

Im konkreten Fall: Klammere zunächst unter der Wurzel n² aus. Teile dann die Wurzel [entsprechend der ersten von mir genannten Rechenregel] auf. Vereinfache dann √(n²) zu n.

$\sqrt{n^2+3n}$ $=\sqrt{n^2\cdot 1+n^2\cdot \frac{3}{n}}$ $=\sqrt{n^2\cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)}$ $=\sqrt{n^2}\cdot\sqrt{1+\frac{3}{n}}$ $=n \cdot\sqrt{1+\frac{3}{n}}$

Answer 2

[HawkeyeDZoro]

Um die Parameter aus dieser Wurzel auszuklammern, könntest du die folgende Gleichung verwenden:

sqrt(n^2 + 3n) = n * sqrt(n^2/(n^2) + 3n/(n^2))

Dann kannst du die Klammern innerhalb der Wurzel ausmultiplizieren:

sqrt(n^2 + 3n) = n * sqrt((n^2 + 3n)/(n^2))

Die Division durch n^2 kannst du dann eliminieren, indem du sie als 1/(1/n^2) schreibst:

sqrt(n^2 + 3n) = n * sqrt(1/(1/n^2) * (n^2 + 3n))

Jetzt kannst du den Bruch innerhalb der Wurzel ausmultiplizieren und dann die Klammern aufheben:

sqrt(n^2 + 3n) = n * sqrt(1 + (3/n))

Das ist das gleiche Ergebnis, das du am Anfang hattest. Du kannst die Gleichung so belassen oder sie weiter vereinfachen, indem du beispielsweise den Bruch 3/n als 3n^(-1) schreibst.

Comments

[DerRoll]

Donnerwetter, eine Rechnung von ChatGPT, die keinen offensichtlichen Fehler enthält. Trotzdem ist die Herleitung viel zu lang und viel zu unübersichtlich. Muß das eigentlich sein?

Answer 3

[Jangler13]

Du kannst hier einfach zuerst n^2 im inneren der Wurzel ausklammern, sodass du in der Wurzel ein Produkt hast.

Nutze dann die Wurzelgesetze, dass Wurzel(a*b)=Wurzel(a)*Wurzel(b) gilt, wenn a und b positiv sind.

Nutze außerdem, dass Wurzel(n^2) = n für alle positiven n gilt, und du bist fertig.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Answer 4

[gfntom]

Wurzel (n² + 3n) = Wurzel (n²*(1+3/n))= Wurzel(n²)*Wurzel(1+3/n) =
= |n| * Wurzel(1+3/n)