Woher weiß ich ob da eine doppelte Nullstelle ist?
Bei der gerade g bei x=-1
4 Antworten
Hi,
doppelte Nulstelle hast Du nur dann wenn sowohl g(x) = 0 als auch g '(x) = 0.
Das ist hier nicht der Fall.
LG,
Heni
Bei der gerade g bei x=-1
Erst einmal handelt es sich bei g wohl nicht um eine Gerade. Abgesehen davon handelt es sich bei x = -1 nicht um eine doppelte Nullstelle, sondern um eine einfache Nullstelle der Funktion g. Dies kann man daran erkennen, dass g'(-1) = 2 ≠ 0 ist.
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Wenn g(x₀) ≠ 0 ist, so ist x₀ keine Nullstelle von g.
Wenn g(x₀) = 0 ist, so ist x₀ eine Nullstelle von g.
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Wenn g(x₀) = 0 und g'(x₀) ≠ 0 ist, so ist x₀ eine einfache Nullstelle von g.
Wenn g(x₀) = g'(x₀) = 0 und g''(x₀) ≠ 0 ist, so ist x₀ eine doppelte Nullstelle von g.
Wenn g(x₀) = g'(x₀) = g''(x₀) = 0 und g'''(x₀) ≠ 0 ist, so ist x₀ eine dreifache Nullstelle von g.
...
Die Vielfachheit der Nullstelle x₀ (einer entsprechend oft differenzierbaren Funktion) kann man ermitteln, indem man untersucht, die wievielte Ableitung zum ersten Mal an der Stelle x₀ einen von 0 verschiedenen Wert liefert.
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Im konkreten Beispiel:
Demnach ist -2 keine Nullstelle von g.
Demnach ist -1 eine einfache Nullstelle von g.
Demnach ist 0 keine Nullstelle von g.
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich NULL
Bedingung Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich NULL und f´(x)=0
Der Sattelpunkt (Terrassenpunkt), ist ein besonderer Wendepunkt,wo die Tangentensteigung m=0 ist und die Tangente parallel zur x-Achse liegt
Wir sehen hier 2 Wendepunkte bei x1w=-1 und x2w=1
Das bedeutet,daß wir hier eine ganzrationale Funktion 4.ten Grades haben
eine kubische Funktion y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao hat nur 1 Wendepunkt
y=f(x)=a4*x⁴+a3*x³+a2*x²+a1*x+ao
Das sind dann 5 Unbekannte,a4,a3,a2,a1 und ao
Mit g(0)=2
also ao=2 bleiben noch 4 Unbekannte
mit P1(-2/-1) und P2(-1/0) P2 ist eine Nullstelle
haben wir 2 Gleichungen
mit g´´(x)=.... x1w=-1 und x2w=1 haben wir nochmal 2 Gleichungen
also insgesamt 4 Unbekannte und 4 Gleichungen,also lösbar
das gibt dann ein lineares Gleichungssystem (LGS)
1) a11*x+a12*y+a13*z+a14*e=b1
2) a21*x+a22*y+a23*z+a24*e=b2
3) a31*x+a32*y+a33*z+a34*e=b3
4) a41*x+a42*y+a43*z+a44*e=b4
die unbekannten ermittelt man zweckmäßig mit einem Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.
In Handarbeit ist das eine tierrische Rechnerei,mit einen hohen Risiko für Rechenfehler
Wenn man nun die Funktion ermittelt,dann sieht man am Graphen,ob es eine doppelte Nullstelle gibt.
Ist das nicht ein bisschen seeehr aufwändig? Genau genommen hast Du in der Tabelle 9 Informationen, macht also eine Funktion vom Grad 8 - möchte ich nicht rechnen.
Und: In Deinen Ausführungen sind ein paar mathematische Unsauberkeiten, die die Argumentation in sich zusammenbrechen lassen:
Du schreibst: an Extremstellen muss die zweite Ableitung ungleich null sein, an Wendestellen die dritte (ich interpretiere dein Wort "Bedingung" mal so). Da dies aber nur ein Teil der hinreichenden Bedingung ist, muss das nicht erfüllt sein.
Du siehst Wendestellen bei x = -1 und x = 1. Der Tabelle kann man aber nur entnehmen, dass hier die zweiten Ableitungen null sind. Es müssen also (noch) keine Wendestellen sein. (Es gibt auch sog. Flachstellen - unter diesem Begriff habe ich das kennengelernt - Stellen, in denen die zweite und dritte Ableitung null ist, z.B. bei f(x) = 1/4x^4+x+1 die Stelle x=0)
Einfacher ist doch der Ansatz: eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn f(x0) = 0, f´(x0) = 0 und f´´(x0) <> 0. Das lässt sich aus der Tabelle direkt ablesen. (vgl. mihisu)
oben steht,Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null,das kann man mit einer Funktion 4.ten Grades erreichen.
g´´(-1)=0 und g´´(1)=0 also 2 Wendepunkte oder etwa nich
Wie ausgeführt, das muss nicht sein. Es ist aber wohl möglich, eine Funktion 4. Grades zu konstruieren, die bei x = -1 und x = 1 eine Wendestelle besitzt. Aber: Erfüllt diese Funktion alle Bedingungen aus der Tabelle?? (Habe ich noch nicht durchgerechnet...)
Und: Wo ist der Zusammenhang mit doppelten Nullstellen?
Ich habe immer die selbe Vorgehensweise,bei Steckbriefaufgaben.
1) man braucht für jede Unbekannte 1 Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
2) Steckbriefaufgaben für immer zu einem linearen Gleichungssystem (LGS),was dann gelöst werden muß
Das LGS löse ich dann immer mit meinem GTR (Casio),der macht das in 2 Sekunden,wenn ich die Zahlen eingegeben habe.
Hier,bei dieser Aufgabe,habe ich die Funktion nicht ermittelt,weil mir das zu aufwendig war.
Meine Arbeit,hier bei GF,bekomme ich nicht bezahlt.
Wenn man mich nun bezahlen würde,dann könnte ich mich an die Arbeit machen.
Na klar!! Warum soll man sich hier sinnlos zerreißen und das ohne Bezahlung?
Die Steigung ist dort ungleich Null, also schneidet der Graph die x-Achse statt sie nur zu berühren. Damit kann es an dieser Stelle keine doppelte Nullstelle geben.
und was hat das jetzt mit der Frage zu tun? ;-)