Wo findet die e-Funktion in den Naturwissenschaften Anwendung?
4 Antworten
An unzähligen Stellen. Man muß dabei zwischen der reellen und der komplexen Exponentialfunktion unterscheiden — erstere beschreibt Anstieg oder Abfall, zweitere Oszillation. Oft ist ein System grundsätzlich in der Lage beides zu tun, und was es in einem bestimmten Fall wirklich macht, hängt von den Details ab.
Das klassische Beispiel ist die Schwingung. Wenn Du auf irgendetwas Schwingungsfähiges draufschlägst, dann fängt es zum Schwingen an (Oszillaton → Exponentialfunktion mit imaginärem Argument). Ist gleichzeitig noch eine Art von Reibung im Spiel, dann klingt die Schwingung langsam ab (dann kommt noch eine reelle Exponentialfunktion dazu). Wenn die Reibung sehr stark ist, dann tritt gar keine Schwingung auf, sondern das Zeug bewegt sich ein bißchen und bleibt dann stehen (reelle Exponentialfunktion).
Reelle Exponentialfunktionen treten häufig bei zeitlichen oder räumlichen Prozessen auf, z.B. bei Diffusion, chemischen Reaktionen, Wärmeleitung etc. Und Schwingungen sind in der Physik allgegenwärtig, z.B., wenn man mit Licht zu tun hat oder in der Quantenmechanik, und daher ist die komplexe Exponentialfunktion eⁱᴴᵗ dort Dein ständiger Begleiter.
Matrizen und Operatoren haben Eigenwerte, aber bei Funktionen gibt es das nicht. Funktionen können aber Eigenfunktionen von Operatoren sein — eᵏˣ ist z.B. die Eigenfunktion des Differentialoperators d/dx mit dem Eigenwert k.
Bei ganz vielen Wachstumsprozessen (in der Regel beschränktes Wachstum),
bei Auf- und Entladevorgängen von beispielsweise elektronischen Bauelementen (Spule, Kondensator), aber auch beim Abfluss eines Wasserbehälters/Staudamm, wenn man unten ein Loch rein machen würde. (Auch wieder als beschränktes Wachstum)
Bei Lösungen Differenzialgleichungen und im Zusammenhang mit komplexen Zahlen auch als eine Grundlage für Sinus- und Kosinusfunktionen. Mit e-Funktionen lassen sich somit auch Schwingungen und Wellenformen beschreiben.
Gibt sicher noch weitere Anwendungsgebiete.
es ist die Eigenfunktion des Ableitungsoperators, dh sie taucht immer dann auf, wenn die Änderung eines Wertes proportional zum Wert selbst ist, zB bei Wachstums- und Dämpfungsprozessen sowie bei Wellenbewegungen.
Warum hat die e-Funktion dann einen Eigenwert? Woher kommt dieser Wert?
der Eigenwert ist der Proportionalitätsfaktor zur Ableitung der Funktion
Sie taucht in vielen Differentialgleichungen auf.
https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung#Auftreten_und_Anwendungen
Warum hat die e-Funktion dann einen Eigenwert? Woher kommt dieser Wert?