Wieviele Zahlen sind unter folgender Bedingung möglich?

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5 Antworten

Angenommen, wir haben eine (höchstens) fünfstellige Zahl

abcde

jede dieser Stellen kann eine beliebige Ziffer zwischen 0 und 9 (einschließlich) annehmen, jedoch nicht 1. Ziffern dürfen auch mehrfach auftreten. Das bedeutet, es gibt 9^5 = 59049 Zahlen, die keine 1 enthalten. 

Als nächstes haben wir eine Zahl

abcd1

Es gibt 9^4 Möglichkeiten für Zahlen, die genau eine 1 enthalten (also für abcd). Die "1", die im Beispiel oben am Ende der Zahl steht, kann an einer von 5 Positionen sein (also 1abcd, a1bcd, ab1cd, abc1d, abcd1). Das ergibt also 9^4 * 5 = 32805 Zahlen, die genau eine 1 enthalten. 

Next one:

abc11

9^3 Möglichkeiten für abc. Es gibt 20 Möglichkeiten, wie die beiden Einsen verteilt sein können (5! / 3! = 20) https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Permutation\_mit\_Wiederholung

Davon ist aber die Hälfte dieser Möglichkeiten identisch, macht also 10 eindeutige Möglichkeiten, wo die beiden 1en liegen können.

Das macht 9^3 * 10 = 7290 Zahlen, die genau zwei Einsen enthalten.

Alle anderen Zahlen enthalten also 3 oder mehr Einsen, das sind dementsprechend 100000 - 59049 - 32805 - 7290 = 856 Zahlen.

Ich hoffe, das ist einigermaßen verständlich erklärt, ich bin gespannt, wie andere Leute das lösen. 

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Um genau 3 Einsen auf 5 Ziffern zu verteilen, gibt es (5 über 3)=10 Möglichkeiten. Für die beiden übrigen Stellen gibt es jeweils 9 mögliche Ziffern ungleich 1. D. h. fünfstellige Ziffern mit genau 3 Einsen gibt es 10 * 9 * 9=810 Möglichkeiten;
um genau 4 Einsen zu verteilen gibt es (5 über 4)=5 mögliche Konstellationen und für die 5. Stelle wieder 9 Möglichkeiten, d. h. es gibt insgesamt 5 * 9=45 Zahlen mit genau 4 Einsen.

Dazu noch die eine Zahl mit 5 Einsen und Du hast 810+45+1=856 fünfstellige Zahlen mit mindestens 3 Einsen.

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Zunächst gibt es eine Bijektion zw. den Zahlen 0 bis 10⁵–1 und den Länge 5 Folgen 00000 bis 99999. Also o. E. ersetzen wir jede Zahl durch eine {0,1,…,9}-Folge der Länge 5.

Die Folgenglieder einer jeden Folge gehören nun 2 Sorten an: den in {1} liegenden und den in {0,2,3,…,9} liegenden Ziffern.

Nenne diese Typen A und B. Jede Folge zw. 00000 und 99999 lässt sich nun „typisieren“: z. B. hat 04018 den Typ BBBAB. Die Typen sind einfach {A,B}-Folgen der Länge 5. Jede {0,1,…,9}-Folge gehört offensichtlich ein eindeutiger Typ!

Für jeden Typ, T, können wir sehr aufzählen, wie viele Zahlen darunter fallen: hat T genau a As und b(= 5–a) Bs, so ist die Anzahl 

#{x < 10⁵ | x des Typs T}

offensichtlich gleich 1ᵃ·(10–1)ᵇ egal, wie die Reihenfolgen von As und Bs in T sind. Daher müssen wir bei unserer Aufzählung die Reihenfolge gar nicht beachten. Wir wollen nun aufzählen:

#{x < 10⁵ | x des Typs T, sd T mind 3 As enthält}
= ∑ #{x < 10⁵|x des Typs T, #As in T = a},
Summe von a=3 bis 5.
= ∑ ∑ #{n < 10⁵ | x des Typs T}
Summe über alle T mit a As; Summe von a=3 bis 5.
= ∑ ∑ 1ᵃ·(10–1)⁵¯ᵃ
Summe über alle T mit k As; Summe von a=3 bis 5.
= ∑ N(a) 1ᵃ·(10–1)⁵¯ᵃ Summe von a=3 bis 5.
wobei N(a) = # Typen mit a As (& 5–a Bs).
Kombinatorik zufolge ist dies gleich (5 über a).
= ∑ (5 über a) 1ᵃ·(10–1)⁵¯ᵃ Summe von a=3 bis 5.
= (5 über 3) 9² + (5 über 4) 9¹ + (5 über 5) 9⁰
= 10·9² + 5·9 + 1
= 856

Also gibt es exakt 856 Zahlen mit der gesuchten Eigenschaft. Dies ist im Einklang mit den anderen hier geposteten Ergebnissen. Vorteil dieses Ansatzes: 1. er ist mathematischer, da du selber nicht alle Fälle durchgehen musst (wie bei den anderen Beiträgen); 2. er lässt sich viel leicher verallgemeinern:

Zählst du stattdessen zur Basis B und von 0 bis Bᴺ – 1, und willst du alle Folgen aufzählen, die mind. r Ziffern aus einer Teilmenge von {0,1,…,B–1} der Größe m aufzählen, so ist die Anzahl nach den gleichen Überlegungen oben gegeben durch:

∑ (N über k) mᵏ(B – m)ᴺ¯ᵏ  von k=r bis N

Viel Spaß!

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Kommentar von kreisfoermig
10.07.2017, 19:28

Ein kleiner Rückzug bei meiner Aussage: unter den restlichen Beiträgen ist der von [ceevee] genauso mathematisch.

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Excel kommt auf 856 (damit du eine Vergleichszahl hast).

00111 01011 01101 01110 01111 01112 01113 01114 01115 01116 01117 01118 01119 01121 01131 01141 01151 01161 01171 01181 01191 01211 01311 01411 01511 01611 01711 01811 01911 02111 03111 04111 05111 06111 07111 08111 09111 10011 10101 10110 10111 10112 10113 10114 10115 10116 10117 10118 10119 10121 10131 10141 10151 10161 10171 10181 10191 10211 10311 10411 10511 10611 10711 10811 10911 11001 11010 11011 11012 11013 11014 11015 11016 11017 11018 11019 11021 11031 11041 11051 11061 11071 11081 11091 11100 11101 11102 11103 11104 11105 11106 11107 11108 11109 11110 11111 11112 11113 11114 11115 11116 11117 11118 11119 11120 11121 11122 11123 11124 11125 11126 11127 11128 11129 11130 11131 11132 11133 11134 11135 11136 11137 11138 11139 11140 11141 11142 11143 11144 11145 11146 11147 11148 11149 11150 11151 11152 11153 11154 11155 11156 11157 11158 11159 11160 11161 11162 11163 11164 11165 11166 11167 11168 11169 11170 11171 11172 11173 11174 11175 11176 11177 11178 11179 11180 11181 11182 11183 11184 11185 11186 11187 11188 11189 11190 11191 11192 11193 11194 11195 11196 11197 11198 11199 11201 11210 11211 11212 11213 11214 11215 11216 11217 11218 11219 11221 11231 11241 11251 11261 11271 11281 11291 11301 11310 11311 11312 11313 11314 11315 11316 11317 11318 11319 11321 11331 11341 11351 11361 11371 11381 11391 11401 11410 11411 11412 11413 11414 11415 11416 11417 11418 11419 11421 11431 11441 11451 11461 11471 11481 11491 11501 11510 11511 11512 11513 11514 11515 11516 11517 11518 11519 11521 11531 11541 11551 11561 11571 11581 11591 11601 11610 11611 11612 11613 11614 11615 11616 11617 11618 11619 11621 11631 11641 11651 11661 11671 11681 11691 11701 11710 11711 11712 11713 11714 11715 11716 11717 11718 11719 11721 11731 11741 11751 11761 11771 11781 11791 11801 11810 11811 11812 11813 11814 11815 11816 11817 11818 11819 11821 11831 11841 11851 11861 11871 11881 11891 11901 11910 11911 11912 11913 11914 11915 11916 11917 11918 11919 11921 11931 11941 11951 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17411 17511 17611 17711 17811 17911 18011 18101 18110 18111 18112 18113 18114 18115 18116 18117 18118 18119 18121 18131 18141 18151 18161 18171 18181 18191 18211 18311 18411 18511 18611 18711 18811 18911 19011 19101 19110 19111 19112 19113 19114 19115 19116 19117 19118 19119 19121 19131 19141 19151 19161 19171 19181 19191 19211 19311 19411 19511 19611 19711 19811 19911 20111 21011 21101 21110 21111 21112 21113 21114 21115 21116 21117 21118 21119 21121 21131 21141 21151 21161 21171 21181 21191 21211 21311 21411 21511 21611 21711 21811 21911 22111 23111 24111 25111 26111 27111 28111 29111 30111 31011 31101 31110 31111 31112 31113 31114 31115 31116 31117 31118 31119 31121 31131 31141 31151 31161 31171 31181 31191 31211 31311 31411 31511 31611 31711 31811 31911 32111 33111 34111 35111 36111 37111 38111 39111 40111 41011 41101 41110 41111 41112 41113 41114 41115 41116 41117 41118 41119 41121 41131 41141 41151 41161 41171 41181 41191 41211 41311 41411 41511 41611 41711 41811 41911 42111 43111 44111 45111 46111 47111 48111 49111 50111 51011 51101 51110 51111 51112 51113 51114 51115 51116 51117 51118 51119 51121 51131 51141 51151 51161 51171 51181 51191 51211 51311 51411 51511 51611 51711 51811 51911 52111 53111 54111 55111 56111 57111 58111 59111 60111 61011 61101 61110 61111 61112 61113 61114 61115 61116 61117 61118 61119 61121 61131 61141 61151 61161 61171 61181 61191 61211 61311 61411 61511 61611 61711 61811 61911 62111 63111 64111 65111 66111 67111 68111 69111 70111 71011 71101 71110 71111 71112 71113 71114 71115 71116 71117 71118 71119 71121 71131 71141 71151 71161 71171 71181 71191 71211 71311 71411 71511 71611 71711 71811 71911 72111 73111 74111 75111 76111 77111 78111 79111 80111 81011 81101 81110 81111 81112 81113 81114 81115 81116 81117 81118 81119 81121 81131 81141 81151 81161 81171 81181 81191 81211 81311 81411 81511 81611 81711 81811 81911 82111 83111 84111 85111 86111 87111 88111 89111 90111 91011 91101 91110 91111 91112 91113 91114 91115 91116 91117 91118 91119 91121 91131 91141 91151 91161 91171 91181 91191 91211 91311 91411 91511 91611 91711 91811 91911 92111 93111 94111 95111 96111 97111 98111 99111

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Kommentar von ReginaSuperSofi
10.07.2017, 13:48

da ist meine 850 (die Nachkommastellen habe ich mir nicht gemerkt, vielleicht komme ich auch auf die 856) ja anscheinend richtig, aber ist das multiplizieren wirklich richtig? 

Nach dieser Schlussfolgerung, hätte ich falls ich mit z.B. 200.000 multipliziere die Anzahl der Zahlen mit 3 Einsen für 0 - 199.999 aber stimmt das dann noch?

0

Hmm, ich würde es so machen:

Dreistellige Zahlen:

Nur 111

Vierstellige Zahlen:

1011, 1101 und 1110, sowie
1111,2111,3111,4111,5111,6111,7111,8111,9111
1211,1311,1411,1511,1611,1711,1811,1911
1121,1131,1141,1151,1161,1171,1181,1191
1112,1113,1114,1115,1116,1117,1118,1119

Also eine dreistellige und 39 vierstellige Zahlen mit mindestens drei Einsen.

Fünfstellige Zahlen:

Alle Zahlen mit 111 am Ende: 10111, 11111, 12111, 13111 bis 99111 -> 90 Zahlen
Alle Zahlen mit Einsen an der 2., 4. und 5. Stelle: 11011, 11111, 11211 bis 91911 -> 90 Zahlen minus 11111, 21111, 31111, 41111, 51111, 61111, 71111, 81111 und 91111, weil diese schon berücksichtigt wurden. => 90-9=81

Alle Zahlen mit Einsen an der 1., 4. und 5. Stelle.
Alle Zahlen mit Einsen an der 2., 3. und 5. Stelle.
Alle Zahlen mit Einsen an der 1., 2. und 3. Stelle
Alle Zahlen mit Einsen an der 1., 2. und 4. Stelle
Alle Zahlen mit Einsen an der 1., 2. und 5. Stelle
Alle Zahlen mit Einsen an der 1., 3. und 5. Stelle
und so weiter und so fort.

Es gibt zehn Möglichkeiten dafür, also gibt es für die fünfstelligen Zahlen
90+81+72+63+54+45+36+27+18+9 Zahlen mit mindestens drei Einsen.

Insgesamt ergibt das 495 Zahlen mit mindestens drei Einsen im fünfstelligen Bereich.

Alles zusammen also 495+39+1= 535 !!


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Kommentar von Bordori
10.07.2017, 13:52

Es ist möglich, dass es falsch ist Ich habe versucht, mich zu beeilen.

Tut mir im Zweifelsfall Leid!

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