Wie zeige ich die Existenz eines Multiplikationen Inversen?

alle axiome kann ich zeigen außer M4,

das additive neutrale Element ist (0,0) und das multiplikative (1,0). Jetzt müsste ich zeigen

das bei aa‘+2bb‘ bei einem (a‘,b‘) 1 rauskommt und bei dem gleichen (a‘,b‘) bei ab‘+ba‘ 0 rauskommt.

Also zwei Gleichungen und vier unbekannte. Hätte jemand eine Idee ?

Answer 1

[mihisu]

Also zwei Gleichungen und vier unbekannte.

Das sieht zwar nach 4 Unbekannten aus. Tatsächlich hast du aber nur 2 Unbekannte, nach denen du das Gleichungssystem auflösen musst. Denn...

Du brauchst zu einem vorgegebenen Element (a, b) jeweils das entsprechende multiplikative Inverse (a', b'). Demnach kannst du a und b als gegeben betrachten und musst das Gleichungssystem bzgl. der beiden Unbekannte a' und b' lösen.

$\left(aa'+2bb', ab'+ba'\right)=\left(1, 0\right)$

$\Leftrightarrow\quad \underbrace{aa'+2bb'=1}_{A:=}\ \text{ und }\underbrace{ab'+ba'=0}_{B:=}$

Dieses Gleichungssystem bzgl. a' und b' kannst du nun mit einem dir bekannten Verfahren lösen, beispielsweise mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Dabei wirst du aber kaum ohne Fallunterscheidung auskommen.]

Ein möglicher Lösungsweg, wäre, zunächst vom a-fachen von B das b-fache von A zu subtrahieren, um a' zu eliminieren.

$a\cdot B-b\cdot A\quad \Leftrightarrow\quad a^2b'+aba'-\left(aba'+2b^2b'\right)=0-b$

$\quad \Leftrightarrow\quad a^2b'-2b^2b'=-b$

$\quad \Leftrightarrow\quad \left(a^2-2b^2\right)b'=-b$

$\quad \overset{[*]}{\Leftrightarrow}\quad b'=\frac{-b}{a^2-2b^2}$

Bei [*] ist eingegangen, dass (a, b) ungleich (0, 0) sein soll. Denn zum neutralen Element (0, 0) der Addition braucht es auch kein multiplikatives Inverses. Und außer (0, 0) gibt es kein Paar (a, b) rationaler Zahlen, welches a² - 2b² = 0 erfüllt. [Angenommen es gäbe solch ein Paar, dann wäre √(2) = a/b oder √(2) = -a/b. Dann wäre √(2) als Quotient rationaler Zahlen eine rationale Zahl. Allerdings ist √(2) irrational.]

====== 1. Fall: a ≠ 0 ======

In diesem Fall kann man dann b' = (-b)/(a² - 2b²) in Gleichung A einsetzen, um a' zu berechnen.

$aa'+2b\cdot \frac{-b}{a^2-2b^2}=1$

$\quad \Leftrightarrow\quad aa'-\cdot \frac{2b^2}{a^2-2b^2}=1$

$\quad \Leftrightarrow\quad aa'=1+\frac{2b^2}{a^2-2b^2}$

$\quad \Leftrightarrow\quad aa'=\frac{a^2-2b^2}{a^2-2b^2}+\frac{2b^2}{a^2-2b^2}$

$\quad \Leftrightarrow\quad aa'=\frac{a^2}{a^2-2b^2}$

$\quad \xLeftrightarrow{a\ne 0}\quad a'=\frac{a}{a^2-2b^2}$

====== 2. Fall: b ≠ 0 ======

In diesem Fall kann man dann b' = (-b)/(a² - 2b²) in Gleichung B einsetzen, um a' zu berechnen.

$a\cdot \frac{-b}{a^2-2b^2}+ba'=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad ba'=a\cdot \frac{b}{a^2-2b^2}$

$\quad \xLeftrightarrow{b\ne 0} \quad a'=\frac{a}{a^2-2b^2}$

====== Ende der Fallunterscheidung ======

Jedenfalls kann man dann so darauf kommen, dass man zu (a, b) ≠ (0, 0) dann

$\left(a', b'\right)=\left(\frac{a}{a^2-2b^2}, \frac{-b}{a^2-2b^2}\right)$

als entsprechendes multiplikatives Inverses finden kann.

====== Bemerkung ======

Genau genommen habe ich, so wie ich das gerechnet habe, nur gezeigt, dass aus (a, b) * (a', b') = (1, 0) folgt, dass (a', b') so aussehen muss. Eigentlich geht es aber um die andere Richtung, dass bei entsprechendem (a', b') folgt, dass (a, b) * (a', b') = (1, 0) gilt. Das sollte aber nun kein Problem mehr sein, nachdem man nun weiß wie (a', b') aussieht. Bzw. könnte man alternativ den Rechenweg auch etwas anpassen, dass die Äquivalenz ersichtlich wird.

Comments

[instastar]

Super danke , ich hatte probiert das LGS per Substitution zu lösen und kam irgendwie nicht weiter, wie würde es da aussehen?

Answer 2

[DerRoll]

Es sind zwei Gleichungen mit zwei unbekannten. Denn a und b sind ja vorgegeben, a' und b' sind zu bestimmen. Sortiere die zweite Gleichung um und verwende die dir bekannten Lösungsverfahren.

Answer 3

[verreisterNutzer]

Also zwei Gleichungen und vier unbekannte.

... wieso 4 Unbekannte? a und b sind doch vorgegebene und damit bekannte Größen. Du musst also sowas wie a'(a,b) und b'(a,b) bestimmen (analog wie i(x) = 1/x das inverse Element zu x ist).

Comments

[DerRoll]

Die Determinante des Gleichungssysteme ist doch a^2 - 2b^2, ist da überhaupt immer eindeutige Lösbarkeit gegeben?

[eterneladam]

@DerRoll

Der Witz ist, dass a und b rational sein müssen.

[mihisu]

@DerRoll

a² - 2b² kann hier nicht 0 werden.

Denn in der Aufgabe geht es um rationale Zahlen a, b. Und zu (0, 0) braucht man kein multiplikatives Inverses finden. Aber das einzige Paar (a, b) rationaler Zahlen, welches a² - 2b² = 0 erfüllt, ist (0, 0).

[DerRoll]

@mihisu

Stimmt, wegen der Wurzel(2) beim auflösen. Danke!