Was ist ein additives Inverse und was ist ein multiplikative Inverse?
Also es geht um (0....usw.) die Mengen der Restklassen mit modulo z.B. 17
was ist jetzt der unterschied zwischen additives und multiplikatives Inverse ?
3 Antworten
Zuerst zu den additiv inversen Elementen.
Wenn wir beim Beispiel von Z/17Z bleiben und das Element [3] ∈ Z/17Z gegeben ist, dann ist [a] ∈ Z/17Z gesucht, so dass [3] + [a] = [0].
Nun gibt es ja nur 17 Äquivalenzklassen in Z/17Z, undzwar [0], [1], [2], ...., [16], d.h.
[16] + [1] = [15] + [2] = [0].
Beim Beispiel von oben muss also a = 14 gelten, damit [3] + [14] = [0].
Wenn für ein allgemeines [b] ∈ Z/17Z das additiv inverse Element, ist also das inverse Element [ 17 - b] für b != 0, bzw. [0] für b = 0.
Multiplikative Inverse findet man nicht immer. Nur für prime Restklassengruppen gibt es zu jedem Element, außer der [0], ein multiplikativ inverses Element.
Ziel ist es Elemente [a], [b] ∈ Z/17Z zu finden, so dass [a] * [b] = [1].
Manchmal ist es offensichtlich das inverse Element zu finden.
Wie bei der eins [1] * [1] = [1], oder [2] * [9] = [1], oder [3] * [6] = [1].
Wenn es nicht so offensichtlich ist, kannst du versuchen die Elemente mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zu finden.
Für jedes Element existiert ein additiv inverses Element.
Und für jedes Element existiert ein mulitplikativ Inverses Element, falls die Restklassengruppe prim ist. D.h. für Z/2Z, Z/3/, Z/5Z,.... existieren alle inversen Elemente (mit Ausnahme der Null).
Bei den Restklassengruppen, die nicht prim sind, haben nicht alle Elemente multiplikative Inverse.
Okey , also bei meiner Aufgabe steht jetzt:
Als Beispiel wurde die menge der restklassen zwischen { [0] ... [10] } genannt und das modulo ist 11
- ist das multiplikative inverse von [3] also [4] ?
- und das additive inverse von [10] ist [2] ?
- Und 11 , was da gegeben ist ist also eine Primzahl , das heißt es haben nur [2] , [3] , [5] , [7] multiplikative inverse ?
Stimmen die 3 Punkte ?
sorry das ich so viel frage , ich wollte wissen ob das richtig ist...
- ist richtig, weil [3] * [4] ( = [12] ) = [1].
- ist falsch, weil [10] + [2] ( = [12] ) = [1] != [0]
- Stimmt leider auch nicht. Die Restklassengruppe Z/11Z ist prim, also hat jedes Element ein multiplikativ inverses Element. Es kommt nicht darauf an, ob die Vertreter der Äquivalenzklassen Primzahlen sind, sondern ob die Restklassengruppe prim ist.
Es gibt in dem Beispiel ja nur 11 Äquivalenzklassen (von [0] bis [10] ).
Der Repräsentant jeder Äquivalenzklasse ist die kleinste natürliche Zahl, für die a mod 11 = a.
z.B. 1 mod 11 = 1, aber auch 12 mod 11 = 1, und 23 mod 1 = 11.
Daher gilt ... = [-10] = [1] = [12] = [23] = ...
.... = [-9] = [2] = [13] = [24] = ... usw.
... = [-8] = [3] = [14] = [25] = ....
Bei 3. muss ich mich leider korrigieren. Die primen Restklassengruppen werden etwas anders gebildet und sind eine Untergruppe von den Restklassen. Da bin ich gerade überfragt.
hallo ich würde gerne wissen wie es bei modulo 13 ist
- ist da auch das multiplikative inverse von [3] also [4] , weil [3] * [4] ergibt ja [12] und das ist doch auch [1] und somit auch bei modulo 13 richtig oder ?
- und bei additive inverse von [10] und [2] ist auch [12] und das ist [1] != [0] und somit falsch ?
ist das jetzt genauso wie bei modulo 11 ?
[1] = [12] gilt nur bei Modulo 11.
Bei Modulo 13, gibt es 13 Äquivalenzklassen und nicht nur 11.
Bei Modulo 13 sieht es so aus:
[0] = [13] = [26] = ...
[1] = [14] = [27] = ...
[2] = [15] = [28] = ...
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
[11] = [24] = [37] = ...
[12] = [25] = [38] = ....
Ja, -1 und 12 sind in einer Äquivalenzklasse, genau so wie unendlich viele andere ganze Zahlen. Bei Restklassen mit Modulo m, werden die ganzen Zahlen in m (=13 in dem Beispiel) elementfremde Äquivalenzklassen aufgeteilt.
Es ist also jede Zahl der Form 12+n*13, n∈ Z in der Äquivalenzklasse [12] enthalten.
danke das hat sich aufjedenfall auch jetzt erledigt
nur noch die additive inverse bei modulo 13 jetzt
richtig wäre doch , dass das additive inverse von [10] also [3] ist ?
und wäre es modulo 11 , wäre das richtige ergebnis dann von [10] also [1] ?
Sprich es muss immer das ergebnis [0] beim additiven inverse sein ?
Unabhängig von den Restklassen ...
Das neutrale Element verändert das Ergebnis nicht.
Bei der Addition ist das neutrale Element 0 (weil plus 0 nix ändert)
Das Inverse bzgl. Addition ist das "Gegenelement", so dass bei Addition 0 herauskommt, also -X, denn X + (-X) = 0
Bei der Multiplikation ist das neutrale Element 1 (weil mal 1 nix ändert)
Das Inverse bzgl. Multiplikation ist das "Gegenelement", so dass bei Multiplikation 1 herauskommt, also 1/X, denn X * 1/X = 1
Mit Restklassen:
Bei der Restklasse mod 7 gibt es die Elemente 0,1,2,3,4,5,6
Die Inversen bzgl. Addition sind: 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (denn z.B. 2+5 = 7 = 0 mod 7)
bzgl. Multiplikation
- 0 hat kein Inverses
- 1 * 1 = 1
- 2 * 4 = 8 = 1 mod 7
- 3 * 5 = 15 = 1 mod 7
- 6 * 6 = 36 = 1 mod 7
- Also 1 und 6 sind jeweils zu sich selbst invers, 2 zu 4 und umgekehrt sowie 3 zu 5 und umgekehrt.
Für Z/17Z ist die Liste eben etwas länger.
Hallo,
nehmen wir als einfaches Beispiel mal ℤ₅ := ℤ/5ℤ, das aus den Klassen
[0], [1], [2], [3], [4] besteht.
Ich bin schreibfaul und schreibe 0, 1, 2, 3, 4 und meine damit Äquivalenzklassen in ℤ₅.
Ein additives Inverses b zu einem Element a (einer Gruppe) erfüllt a + b = e ,
wobei e das neutrale Element bzgl. "+" ist.
Beispiel:
das additive Inverse zu 2 ist 3, denn 2 + 3 = 5 = 0 , und die Null(klasse) ist das neutrale Element bzgl. der Addition in ℤ₅.
Das multiplikative Inverse b eines Elementes a erfüllt a·b = e', wobei e' das neutrale Element der Multiplikation (einer Gruppe) ist.
Beispiel:
2·3 = 6 = 1 , also sind 2 und 3 zueinander multiplikativ invers, da 1 das neutrale Element der Multiplikation in ℤ₅ ist.
Gruß
Okey dankeschön
Also ist jedes Element ein additives Inverse ?
Und jedes Element außer 0 ist ein multiplikatives Inverse ?
Und bei Primzahlen ist kein Element ein multiplikatives Inverse ?
Habe ich das so richtig verstanden ?
wie ist es bei modulo zahlen die keine primzahlen sind also 4,6,8,12 ?
Kannst du das bitte genauer erläutern