Wie verläuft der Graph einer Funktion für x = +/- unendlich?
Ich hänge nun an einer Matheaufgabe und habe keine Ahnung, was ich genau tun soll. Also: Gegeben ist die Funktion P(x)= -0,5x^3+3x^2. Die Aufgabenstellung lautet: Wie würde der Graph der Funktion theoretisch für x = +/- unendlich verlaufen. Ich kann mir darunter leider nichts vorstellen, und ich möchte auch nicht, dass ihr diese Aufgabe löst (GuteFrage ist für solche Fragen eh nicht gedacht), aber es wäre nett, wenn ihr erklären könntet, wie so ein Graph verläuft bzw. was besonders oder anders ist o.O Ich bin dankbar für jede Antwort.
4 Antworten
Bei solchen Polynomfunktionen brauchst Du für das Unendlichkeitsverhalten nur das x mit dem höchsten Exponenten betrachten. Die Potenz selbst läuft für x->plus-Unendlich immer Richtung unendlich; jetzt kommt es noch auf das Vorzeichen des Koeffizienten an (der Faktor vor der Potenz). Ist es ein Minuszeichen (wie in Deiner Beispielfunktion), dann gehts Richtung Minus-Unendlich.
Für x gegen Minus-Unendlich kommt es darauf an, ob der höchste Exponent gerade oder ungerade ist. Ist er gerade, dann ist die Potenz positiv, ist er ungerade, dann ist sie negativ; dann kommt es natürlich zusätzlich wieder auf den Vorfaktor an.
In Deinem Beispiel musst Du also nur -0,5x³ betrachten. Für x gegen plus-Unendlich ist x³ positiv, aber durch den Faktor -0,5 kehrt das Vorzeichen um, also ist der Grenzwert für x->plus-Unendlich Minus-Unendlich.
Für x->Minus-Unendlich wird x³ negativ (ungerader Exponent); da der Vorfaktor auch negativ ist, kommt für x->Minus-Unendlich Plus-Unendlich raus.
Du hast P(x) = -0,5x³ + 3x².
Und jetzt überleg mal, was für P(x) (den Funktionswert) rauskommt, wenn du für x eine ganz große Zahl einsetzt.
Was kommt raus? Natürlich etwas ganz Negatives, denn das x³ wird eine extrem große Zahl und das -0,5 macht den ganzen Klatsch eben negativ.
Also verläuft der Graph von P für x → ∞ gegen -∞.
Und was passiert, wenn wir etwas ganz Negatives einsetzen? Na das Gegenteil, denn Minus mal Minus ergibt Plus.
Also verläuft der Graph von P für x → -∞ gegen ∞.
Denk doch mal nach, mensch Toby.
Wenn du in die funktion eine ganz grosse zahl reintust was gibt sie zurück? Eine große, eine kleine, oder eine bestimmte zahl?
Als tipp: achte auf das glied mit sem höchsten exponenten und dem vorzeichen des jeweiligen koeffizienten!
Der Graph würde vom 2. in den 4. Quadranten verlaufen:
^ y
2. | 1.
|
____|_______> x
|
3. | 4.
Mein Koordinatensystem ist nicht schön aber selten :)
Dabei geht die Steigung bei x -> +- Unendlich ebenfalls gegen Unendlich
Die Funktionswerte (also y) nehmen jedoch ein "Vielfaches" von Unendlich an (Klingt m.M.n. irgendwie bescheuert) da -x³ + x²
für x -> -unendlich konvergiert f(x) gegen +unendlich für x-> +unendlich genau andersrum. d.h. der graph geht so wie du es beschrieben hast