Wie rechnet man händisch die Nullstellen einer kubischen Funktion aus?
Im der Schule haben wir das nicht gelernt, wir benutzen GeoGebra. Es würde mich allerdings interessieren, wie das händisch ginge.
Ich weiß, wie man bei einer linearen und quadratischen Funktion vorgeht, aber eben, wie gesagt, ich würde auch gerne wissen, wie das händisch bei einer kubischen geht.
6 Antworten
Auf die Schnelle habe ich jetzt nur dieses englische Video gefunden. Vielleicht machst du dir die Untertitel an und spielst es etwas langsamer ab ...
Mathe-Peter erklärt es auf Deutsch. Ist aber nicht einfach...
Mit Hilfe der cardanischen Formel.
Dazu benötigt man allerdings Kenntnisse der komplexen Zahlen.
Die ist zu kompliziert, selbst für einfache Nullstellen. Nicht merken für eine Klausur!! Setzt ein paar werte ein und schaust wo sie gut zu null wird. Wenn du zbsp. 0,5 herauskriegst und der Wert relativ einfach ist benutzt du ein Näherungsverfahren, das von Newton oder Regula Falsi. Formeln dazu findest du im Internet.
kommt darauf an wie die Funktion aussieht
Normalerweise ja Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0
Wenn D = 0, einfach x ausklammern dann ist eine Nullstellle = 0 und der rest mit pq oder ABC
Wenn B = 0 ist es eine sogenannte depressed Cubic ( https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Depressed_cubic ) die sich auch relativ einfach lösen lässt
Sonst wohl am besten Nullstelle raten, reduzieren, lösen
Bei einer kubischen Funktion gibt es noch eine allgemeine Lösungsformel wie bei der quadratischen Funktion, einfach danach suchen.
Da diese aber relativ komplex ist wird sie in der Schule nicht gelehrt und händisch findet die eigentlich keine wirkliche Verwendung.
Die Suche der Nullstellen erfolgt dabei händisch entweder durch Erraten einer Nullstelle und anschließender Reduktion auf eine quadratische Gleichung oder noch per Computer Algebra System wie zB Maple. Da man meist aber in diesen Fällen nur am Wert interessiert ist würd ich sagen, dass hier meistens nummerische Verfahren gewählt werden.
Die Auflösung von Gleichungen dritten Grades geht mit den Cardanischen Formeln:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
In der Schule werden die aber nicht gelehrt, dort beschränkt man sich auf Gleichungen, bei denen mindestens eine Nullstelle schon offensichtlich ist. In der Praxis werden die Formeln auch selten angewendet, da es gute Näherungsverfahren gibt (z.B. Newtonverfahren), mit denen man schneller ein genaues Ergebnis findet.
Die Cardanischen Formeln beweisen zwar, dass es Lösungsformeln gibt. Sie sind aber für die praktische Lösung ungeeignet. Wie erkennt man, dass die Summe zweier komplexer Zahlen, die sich unter einer Fülle von Wurzelzeichen verstecken, plötzlich eine reelle Lösung der Gleichung ist.
Hier bleibt nur, die Gleichung in die Normalform zu bringen und zu wissen, dass das absolute Glied das Produnkt aller Lösungen ist. Dann hilft nur noch raten und beten.
Mir ist auf einer Matheolympiade eine Aufgabe dieser Art begegnet, wo es nicht so einfach ging. Da hätte man x = sin(z) substituieren sollen (die Gleichung erinnerte an ein Aditionstheorem für Dreifachhwinkel). Ich habe auch konsequenterweise 0 Punkte bekommen.
Etwas zum Thema komplexe Zahlen haben wir schon gelernt. Danke für den Tipp, ich werde mich mal schlau machen.