Wie löst man die Augfgabe?
- Gesucht ist eine quadratische Funktion, deren Graph durch die Punkte P(1|1) und 0(3|1) verläuft und an der Stelle 2 eine waagerechte Tangente hat. Deuten Sie Ihr Ergebnis grafisch.
6 Antworten
Ansatz:
f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
Wir haben 3 Unbekannt, a, b und c und benötigen zur Lösung daher 3 Informationen.
gegeben:
f(1) = 1
f(3) = 1
f'(2) = 0
Das setzen wir nun ein:
a + b + c = 1 (1)
9a + 3b + c = 1 (2)
4a + b = 0 (3)
Das Gleichungssystem müssen wir nun auflösen:
(1) - (2) ergibt:
-8a - 2b = 0 (4)
aus (3) folgt:
b = -4a
eingesetzt in (4):
-8a - 8a = 0
hmm, das führt zu nix, denn a = 0 macht keinen Sinn. Das liegt daran, dass die Information f'(2) = 0 den Scheitelpunkt angibt, der genau in der Mitte zwischen P und O liegen muss, wodurch das keine zusätzlich nutzbare Information ist...wie gemein. Damit haben wir zu wenige Informationen und können daher einen Parameter frei wählen, um das passend zu kriegen.
Anderer Ansatz mit der Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - d)^2 + e
Da lege ich a = 1 fest und aus f'(2) = 0 ergibt sich d = 2. Also:
f(x) = (x - 2)^2 + e
Nun müssen wir nur noch e ermitteln und setzen dazu P ein:
(1 - 2)^2 + e = 1
-1^2 + e = 1
e = 2
Und damit haben wir eine von unendlich vielen Parabeln gefunden, die die Aufgabe erfüllen:
f(x) = (x - 2)^2 + 2
Gezeichnet ergibt das:
ups...das passt doch noch nicht ganz. Da der Scheitelpunkt über den beiden gegebenen Punkten liegt, muss die Parabel nach unten offen sein. Wir setzen also einfach ein Minus davor:
f(x) = -(x - 2)^2 + 2
..und nun passt es:
Hallo,
da eine quadratische Funktion immer achsensymmetrisch zum Scheitelpunkt ist, muß der Scheitelpunkt hier bei x=2 liegen, denn die Funktionswerte für x=1 und x=3 sind beide gleich.
Du kannst also in die Scheitelpunktform f(x)=a*(x-d)²+e für d schon mal eine 2 eingeben, so daß nur noch a und e als Unbekannte übrigbleiben.
Die bekommst Du dann über die beiden gegebenen Punkte heraus.
Wenn Du Dir eine Skizze machst, wirst Du allerdings sehen, daß es unendlich viele Lösungen gibt.
Vorschlag: Setze a=1, dann brauchst Du nur noch e zu berechnen.
Die Aufgabe besteht ja lediglich darin, irgendeine mögliche Gleichung zu finden.
Herzliche Grüße,
Willy
Diese Aufgabe ist nicht (eindeutig) lösbar. An Hand der gegebenen 2 Punkte und des Minimum / Maximum kann man höchstens eine Parabelschar definieren.
Hier sind 4 mögliche Lösungen geplottet:
Du setzt die quadratische Funktion mit unbekannten Koeffizienten a, b, c an:
Sodann setzt du die Koordinaten der Punkte P und O in diese Gleichung ein. Du hast dann zwei Gleichungen mit insgesamt 3 Unbekannten. Das reicht für eine eindeutige Lösung noch nicht. Um dir eine dritte Gleichung zu verschaffen, bildest du zunächst die Ableitung:
In diese Gleichung setzt du die Werte x= 2, y= 0 ein. Das entspricht der Aussage, dass die Funktion an der Stelle 2 eine waagerechte Tangente hat.
Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das du lösen kannst. Versuche, die besondere Form des Gleichungssystem vorteilhaft auszunutzen.
Wie Du aus den gegebenen Punkten erkennen kannst, haben diese die gleiche y-Koordinate. Daraus folgt, dass es eine senkrechte Symmetrieachse genau dazwischen gibt, die durch den Scheitelpunkt verläuft. Der ist also an der Stelle 2 (genau dazwischen). Durch diesen läuft immer , wie durch jeden Extrempunkt (egal welche Funktion) eine waagrechte Tangente. Die letzte Angabe ist also redundant (überflüssig).
Die allgemeine Scheitelformeiner Parabel ist y = a(x-d) + e. Hier mit d = 2.
Also y = a (x-2)² + e. Gesucht sind a und e. Dazu einfach zwei Gleichungen aufstellen. Für die erste setzt Du für x und y die Koordinaten von P ein und Gott die zweite die von O. Dieses Gleichungssystem, wir üblich lösen und a und e daraus bestimmen.