Wie löse ich diese mathematische Aufgabe? Wie bestimme ich die Werte für eine ganzrationale Funktion 5. Grades?
Mein Ansatz:
f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 +dx^2 + ex + f
Da ich ein LGS mit (zunächst) 5 Unbekannten a, b, c, d, e, f habe, brauche ich 5 Gleichungen.
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Zunächst habe ich durch C(5 ; 2.5):
a5^5 + b5^4 + c5^3 + d5^2 + e5 + f = 2.5
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Nullstelle:
f = 0
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Steigung bei B(0 ; 0):
Dafür habe ich die erste Ableitung von f(x) gebildet, f'(x) = 1/2 (Steigung) gesetzt und x = 0 eingesetzt.
f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 +2dx + e
e = 1/2
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Steigung bei C(5 ; 2.5):
Dann habe ich die erste Ableitung von f(x) gebildet, f'(x) = -1 (Steigung) gesetzt und x = 5 eingesetzt.
f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 +2dx + e
3125a + 500b + 75c + 10d + e = -1
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Dann noch die Wendepunkte, die bei B(0 ; 0) und C (5 ; 2.5) liegen:
Dafür habe ich die zweite Ableitung von f(x) gebildet und f''(x) = 0 gesetzt und die schon bekannten (aus dem Text) Werte für x eingesetzt
f''(x) = 20ax^3 + 12bx^2 +6cx +2d = 0 (x = 0, f''(x) = 0)
d = 0
f''(x) = 20ax^3 + 12bx^2 +6cx +2d = 0 (x = 5, f''(x) = 0)
2500a + 300b +30c +2d = 0
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Da d = 0 und f = 0 habe ich diese Spalten ausgelassen. Jetzt habe ich noch 4 Unbekannte und 4 Gleichungen:
a5^5 + b5^4 + c5^3 + d5^2 + e5 + f = 2.5
e = 1/2
3125a + 500b + 75c + 10d + e = -1
2500a + 300b +30c +2d = 0
Damit habe ich mein LGS und kann es lösen...
Und ich bekomme etwas annähernd richtiges raus, aber trotzdem ist das Ergebnis falsch... f(5) = 1.875 (wobei 2.5 rauskommen sollte)...
3 Antworten
Hallo,
da d und f=0 und e=1/2, brauchst Du nur noch drei Gleichungen für a, b und c:
f(5)=2,5:
3125a+625b+125c=0 (da e=1/2, ist 5*e=5/2 und kann mit 5/2 rechts vom Gleichheitszeichen verrechnet werden).
f'5)=-1:
3125a+500b+75c=-1,5 (auch hier wurde e=1/2 verrechnet).
f''(5)=0:
2500a+300b+30c=0
Versuch es mal damit.
Zur Kontrolle:
a=9/1250, b=-21/250, c=6/25
Herzliche Grüße,
Willy
(1) 3125 * a + 625 * b + 125 * c + (5 / 2) = 5 / 2
(2) 3125 * a + 500 * b + 75 * c + (1 / 2) = -1
(3) 2500 * a + 300 * b +30 * c = 0
Deine Bedingungen passen. Ich würde sie, da e = 1 / 2 und d = f = 0, auf 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten reduzieren (siehe oben). Daraus folgt:
f(x) = (9 / 1250) * x^5 - (21 / 250) * x^4 + (6 / 25) * x^3 + (1 / 2) * x
Ich vermute bei Deinen Berechnungen einen Fehler beim Lösen des Gleichungssystems.
Danke für deine Mühen! Muss jetzt den verdammten Fehler finden ^^
Es ist eine asymptotische Funktion mit 3 Nullstellen! LG
Hey, ich wünschte, ich könnte verstehen, was du damit sagen willst (bin nicht so fit in Mathe)... Müsste ich nicht eher eine umgedrehte Parabel zwischen den zwei Punkten B und C haben, damit man eine "Verbindung" hat?
Was für ein Blödsinn. Die gesuchte Funktion hat nur eine Nullstelle und Asymptoten gibt's nicht.