Wie löse ich diese Aufgabe?
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion
f(z)= (konjugiert komplexe von z) mal (2-|z|²)
an allen Stellen z∈C an denen f komplex differenzierbar ist.
1 Antwort
Prüfe erstmal mittels der Cauchy-Riemann'schen Gleichungen wo f überhaupt holomorph ist.
Zerlegung von f in Real- und Imaginärteil:
Seien
Dann lässt sich f so zerlegen:
So ähnlich. Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Zerlege f zunächst in Real- und Imaginärteil. Prüfe dann in welchen Punkten die Ableitungen beider Teile existieren und stetig sind. In diesen Punkten ist f total differenzierbar.
- Prüfe ob Real- und Imaginärteil in diesen Punkten die Cauchy-Riemannschen Ungleichungen erfüllen. Dort im Wikipedia-Artikel findest Du auch ein Beispiel.
Gelten beide Bedingungen, so ist f in den entsprechenden Punkten komplex differenzierbar (holomorph).
wie zerlege ich das gescheit in real und imaginärteil?
Danke aperfect, jetzt muss ich nur noch die Ableitung von R(f) und I(f) bilden, sie sind stetig vermute ich mal und dann einf. CRDgln. prüfen? also ob ux=vy und uy=-vx
Ich danke dir mein Freund. Ich küss dein Herz
noch eine Frage. Wenn die CRDgln. nicht erfüllt sind dann ist die Funktion nicht komplex differenzierbar und es gibt keine Ableitung an denen f komplex differenzierbar ist oder?
Ja, das stimmt. Diese Funktion hat aber (wenn ich mich nicht verrechnet habe) Punkte an denen sie komplex differenzierbar ist.
Ob die funktion holomorph ist, überprüft man, indem man schaut ob die Ableitung der funktion in jedem Punkt existiert und sie stetig ist oder? D.h. sie ist nur bei Wurzel 2 und 0 nicht holomorph sonst schon?