Wie leitet man sich nichtassoziative Multiplikation her?
Hallo!
Ich habe neulich eine Zahlenmenge definiert, und habe entdeckt, dass sie nicht assoziativ bezüglich der Multiplikation ist. Ich möchte allerdings die Formel für (a+b)*(c+d) herausfinden. Wie kann man sich so etwas herleiten? Und wie hat man das bei den Oktonionen gemacht?
Danke!
2 Antworten
Well, well.
Das aus-multiplizieren in der Form (a+b)*(c+d) mit nichtassoziativen bezüglich der Multiplikation a, b, c und d ist an sich möglich. Das hat auch schon RitterToby08 erklärt. Für deine Zahlenmenge musst du erst einmal heraus finden, ob sie bezüglich Distributiv ist, was ich anhand deiner letzten Fragen bezweifle. Ich denke, dass du Zahlen der Form a+bi meinst mit a und b als reelle Zahlen und i * 0 = 1.
(0 + 0) * j = 0 * i + 0 * i = 1 + 1 = 2
(0 + 0) * j = (0) * i = 0 * i = 1
2 ≠ 1
Das Beispiel habe ich mir aus den Buch "Komplexe Zahlen und ebene Geometrie" von Joachim Engel geklaut (Seite 7) zum Thema warum man nicht 1/0 rechnen kann bzw. 1/0 nicht als eigene imaginäre Einheit definieren kann, wie wir es für sqrt(-1) gemacht haben.
Es ist also nicht distributiv. ;)
Hier müsstest du dann mit Alternativrepräsentationen wie Matrizen arbeiten.
Anders ist es bei (a*b)*(c*d), denn da geht es schließlich um Assoziativität bei Multiplikation.
Danke!
Das Buch "Komplexe Zahlen und ebene Geometrie" finde ich super!
Dafür ist kein Assoziativgesetz nötig. Nur links- und rechtsdistributiv muss die Multiplikation sein. Dann gilt:
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
Da die Oktonionen eine links- und rechtsdistributive Multiplikation haben, kann die obige Gleichheit verwendet werden.