Wie lässt sich zeigen, dass das charakteristische Polnyom einer nxn Matrix immer vom Grad n ist?

Da würde ich die Leibniz-Formel verwenden, und zeigen dass nur einer der Summanden dort ein Polynom n-ten Grades ist, und die restlichen Summanden Grad höchstens n - 1 haben.

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Je nach Definition ist das charakteristische Polynom [im Folgenden mit Variablenbezeichnung λ] einer n×n-Matrix A als



oder



definiert. [Dabei bezeichnet Eₙ die n×n-Einheitsmatrix.]

Die beiden Definitionen unterscheiden sich aber nur um einen Faktor (-1)ⁿ, was leicht aus der Multilinearität der Determinante gefolgert werden kann. Insbesondere ist damit auch der Grad des chrakteristischen Polynoms bei beiden Definitionen gleich.

Ich verwende im Folgenden nun die Definition...



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Wenn man mit aᵢⱼ die entsprechenden Einträge der Matrix A bezeichnet, und mit δᵢⱼ die entsprechenden Einträge der Einheitsmatrix bezeichnet, so erhält man mit Leibniz-Formel...



Für σ ≠ id gibt es (mindestens) ein ĩ ∈ {1, ..., n} mit σ(ĩ) ≠ ĩ, womit dann δ_{ĩ, σ(ĩ)} = 0 für dieses ĩ ist. Das entsprechende Produkt



enthält also höchstens n - 1 Linearfaktoren (sonst nur Konstanten als Faktoren) und ist dementsprechend als Produkt von höchstens n - 1 Polynomen mit Grad 1 ein Polynom höchstens (n - 1)-ten Grades.

Das charakteristische Polynom







ist dann als Summe eines Polynom n-ten Grades und Polynomen höchstens (n-1)-ten Grades ein Polynom n-ten Grades.