Wie kann ich über die Limesbetrachtung begründen, dass f genau eine Nullstelle hat?
Mit dem Satz vom Nullprodukt verstehe ich das. Wie zeigt man es aber über die Limesbetrachtung?
2 Antworten
Hallo,
Du kannst zeigen, daß die Funktion für x gegen minus unendlich gegen +0 geht und für x gegen unendlich gegen -0.
Über die Ableitung bestimmst Du die beiden Extremstellen, nämlich ein Maximum bei x=0 und ein Minimum bei x=2.
Da die Funktion stetig ist, verläuft sie so: Sie verläuft streng monoton steigend bis zum Maximum, bleibt also die ganze Zeit oberhalb der x-Achse. Danach fällt sie bis zum Minimum, steigt von da an wieder streng monoton an, um sich von unten der x-Achse zu nähern.
Da es nur diese beiden Extremstellen gibt und sie sich nach dem Minimum der x-Achse von unten annähert, muß es zwischen x=0 und x=2 zwangsläufig genau eine Nullstelle geben.
Herzliche Grüße,
Willy
Spiel ein bisschen mit dem Betrag von (1-x) herum. Baue dir so eine Funktion g aus f, die abschnittsweise für x<1 und x>1 definiert ist.
Hier ist Willys Lösung sehr viel besser und schöner. Da die Ableitung direkt auf der Grenzwertbetrachtung fußt, nutze jetzt limes x ->1- g(x) und lim x -> -∞ (analog x ->1+ und lim x -> ∞). Zeige: g(x) hat im Bereich x<1 und im Bereich x>1 maximal eine Extremstelle hat. Zeige, dass beide ein Unterschiedliches Vorzeichen haben. Dadurch folgt dann die Existenz von genau einer Nullstelle.