Wie kann ich die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 20 Tagen bestimmen?
f(x) = -0,005x3 + 0,25x2 + 0,5x
2 Antworten
Die Pflanze startet bei (0|0), und das Wachstum soll festgestellt werden bis zum Punkt (20|70), denn f(20) = 70
Das durchschnittliche Wachstum ist einfach eine Gerade zwischen den beiden Punkten. Wegen des Verlaufs durch den Ursprung haben wir es mit Proportionalität zu tun. Die Steigung ist 70/20 = 3,5
Die Gleichung der Geraden ist mithin y = 3,5 x
Dabei ist 3,5 die durchschnittliche Zunahme pro Tag. (Es ist keine Dimension gegeben, also vermutlich cm.)
Probe: 20 * 3,5 = 70
Stimmt also.
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Einzelne temporäre Wachstumsgeschwindigkeiten würden sich durch Ableiten errechnen lassen. Hier war aber nach dem durchschnittlichen Wachstum gefragt.
Die 5 setzt du in die 1. Ableitung ein. Die ist für die Steigung zuständig.
Rechne es mal durch, und guck jetzt weg.
Die Steigung am 5. Tag ist
2,625
(f(20) - f(0))/20
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
& was muss ich dann machen, wenn gefragt wird : Wann hat die Pflanze ihre maximale Länge erreicht und wie hoch ist sie zu diesem Zeitpunkt?
Dann musst du den Hochpunkt bestimmen.
Der ist da, wo f´(x) = 0 und f´´(x) < 0 ist.
Also die Funktion ableiten, die Ableitungsfunktion dann mit 0 gleichsetzen, nach x auflösen, und dann diesen Wert in die zweite Ableitung, also die Ableitung der Ableitungsfunktion, einsetzen, und schauen, ob dann ein Wert < 0 rauskommt.
Wenn dem so ist, musst du nur noch diesen x-Wert in f(x) einsetzen und die Höhe der Pflanze errechnen!
Vielen Dank :) das habe ich jetzt verstanden. Ich hätte aber nochmal eine Frage zu der allerersten und zwar: du hast ja gesagt ich soll in die Funktion 20 für x einstetzen aber ich hab das schon bei dieser Frage gemacht: Wie hoch ist die Pflanze nach 20 Tagen? Hätte ich dann hier ausklammern müssen oder wie hätte ich vorgehen müssen?
Wieso ausklammern?
Einfach die Werte so wie sie sind in die Gleichung für die durchschnittliche Geschwindigkeit einsetzen und ausrechnen! :) So wie es da steht! :)
Das verstehe ich leider nicht :( das war die erste Frage: Wie hoch ist die Pflanze nach 20 Tagen? Da hatte ich ja noch keine Ergebnisse, deshalb bin ich verwirrt 🤔
Also einfach für x in f(x) 20 einsetzen und dann die Höhe ausrechnen. Dann gucken wie hoch die Pflanze am Anfang war, also in f(x) für x 0 einsetzen, und dann schauen wie groß die Differenz der beiden Werte ist. Dann noch durch 20 Tage teilen, und schon hast du die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit, ganz einfach! :)
Wenn du es dir aufzeichnest, dann hast du ja nur eine Gerade, die vom Punkt (0|f(0)) zum Punkt (20|f(20)) geht.
Das kommt mir eher schon bekannter vor: also meinst du Additionsverfahren?
Nein! Das hat damit überhaupt nichts zu tun!
Der Durchschnitt ist ja nichts anderes als die Summe aller Elemente durch die Anzahl der Elemente.
Du summierst die Start- und Endgeschwindigkeit zusammen und teilst dieses Ergebnis dann noch durch 2, denn du hast ja 2 Glieder zusammengerechnet.
Danke dir für deine Mühe :) habe es jetzt verstanden, die b) hat mich nur verwirrt da wir es so nie gemacht hatten. Meine letzte Frage wäre: Welche Geschwindigkeit hat die Pflanze am 5. Tag? Muss ich die 5 in die erste Ableitung oder 2 einsetzten?