Wie Invertierbarkeit beweisen?

Wie beweist man das?
Wahrscheinlich irgendwas in Richtung Determinanten aber ich komme nicht drauf

Answer 1

[ChrisGE1267]

AB invertierbar, g.d.w. det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA) ungleich 0, g.d.w. BA invertierbar.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[PsySkill]

Super, ich hab gerade in den Vorlesungen herumgestöbert und bin auch die gleiche Idee gekommen. Gut zu wissen das ich den richtigen Gedanken habe. Hilfreichste Antwort bekommst du dann zeitnah ❤️

Answer 2

[DerRoll]

Den Beweis mit Determinanten hat ChrisGE ja bereits geführt. Es geht aber auch ohne. Man zeigt AB invertierbar <=> A invertierbar und B invertierbar.

Sei AB invertierbar. Annahme: B ist nicht invertierbar, also Kern B <> {0}. Dann existiert ein x <> 0 € R^nxn so das Bx = 0, also auch ABx = 0 im Widerspruch zur invertierbarkeit von AB. Analog folgt A invertierbar (B ist ja bereits als invertierbar gezeigt, also wähle y € Kern(A) und x so das y = Bx), insgesamt also A und B invertierbar.

Ist umgekehrt A und B invertierbar und x <> 0, so folgt Bx <> 0 und ABx <> 0, insgesamt also Kern(AB) = {0} und damit AB invertierbar.

Nun folgt die Aussage durch einfaches Vertauschen von A und B.