Wie groß ist der Erwartungswert?
Ich habe einen Würfel, der hat 12 Kanten. An der unteren linken vorderen Ecke befindet sich ein blinder Floh und der Floh will zur oberen rechten hinteren Ecke . Der Floh macht immer nur Sprünge eine Kante lang , er brauch also mindestens 3 Sprünge um von der linken unteren vorderen Ecke zur oberen rechten hinteren Ecke zu kommen. Es kann ja dann ja auch sein das er 5 ; 7; 9 Sprünge macht usw. Oder nie zur hinteren oberen rechten Ecke ankommt , weil er ja blind ist und eventuell eine Kante immer hin und her springt.
Wie groß ist dann der Erwartungswert, das der Floh zur hinteren rechten oberen Ecke kommt?
Da muss sich doch bestimmt eine Gleichung aufstellen lassen.
Vielleicht habe ich mich schlecht ausgedrückt. Was ist der Erwartungswert wie viele Sprünge der Floh brauch? Hätte ich besser schreiben sollen.
Wie groß ist dann der Erwartungswert, das der Floh zur hinteren rechten oberen Ecke kommt?
So ergibt die Frage keinen Sinn. Meinst du die Erwarteten Anzahl an Sprüngen?
Ich habe schon gemerkt das ich mich schlecht ausgedrückt habe. Und habe meine Frage ergenzt. Ja ich meinte die Erwartete Anzahl an Sprüngen.
4 Antworten
Also man kann dieses Experiment ganz gut als Markovkette Approximieren.
Schritt 1:
Betrachte den Würfel als Graphen mit 8 Knoten (jede Ecke ist ein Knoten).
Siehe dazu die Beschriftung der Ecken, Ecken 1 bis 4 sind unten, 5 bis 8 oben.
Ich bezeichne jeden Knoten mit einer Zahl zwischen 1 bis 8, 1 ist der Start, 8 ist das Ziel.
(Notiz: ich merke Gerade, dass man den Graphen vereinfachen kann, indem man die Knoten 2, 4 und 6 zu einem Knoten zusammen Fässt und die Knoten 3, 5 und 7 zu einem, dann hat man einen Graphen mit nur 4 Zuständen, was etwas handlicher ist, da die Matrix dann die Form 4x4 hat)
Dann notiert man eine Übergangsmatix M, die die Wahrscheinlichkeiten enthält nach Knoten B zu kommen, wenn man gerade bei Knoten A ist (das ist dann der Eintrag an der A. Zeile und B. Spalte).
Die Matrix lautet dann:
Da der Flo bei 8 ans Ziel angekommen ist, soll er von dort auch nicht mehr wegkommen. (Deswegen hat die 8. Zeile nur bei der 8. Spalte den Eintrag, damit der Flo dort bleibt)
Wir nutzen nun die Startverteilung
v = (1,0,0,0,0,0,0,0)
(Das bedeutet, dass der Floh zu Beginn auf Ecke 1 ist)
Schritt 2:
Um die Verteilung der Positionen nach n Schritten zu bestimmen, muss man man "einfach" nur v*M^n rechnen, dann weiß man, wo der Floh sich mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet.
Um das einfacher zu berechnen, nutzen wir stattdessen die Eigenwertzerlegung (M ist zum Glück Diagonalisierbar) von M:
M = Q^-1 * D * Q, wobei D eine Diagonal Matrix ist
Dann ist M^n = Q^(-1)*D^n*Q.
Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, ob der Floh nach den n. Sprung beim Ziel ankommt (und nicht vorher angekommen ist) müssen die Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, ob der Floh nach dem n-1. Sprung bei den Ecken 3, 5 oder 7 angekommen ist. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen addiert werden und dann durch 3 geteilt werden (da von jeder dieser Ecken die Wahrscheinlichkeit 1/3 ist, am Ziel zu gelangen).
Wir benötigen dafür nur die 1. Zeile von Q^-1, und die 3, 5 und 7. Spalte von Q. Da bei v*Q*D^n nur die letzten drei einträge ungleich 0 sind, benötigt man nur jeweils die letzten drei einträge der drei Spalten.
(Alternativ kann man unten rechts von der Übergangsmatrix eine 0 schreiben, dann wird Der floh, falls er bei der 8 ankommt bei dem nächsten Schritt "verschluckt", dann ist der 8. Eintrag von v*M^n gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Floh am n. Sprung am Ziel ankommt. Die Matrix ist aber dann nicht Diagonalisierbar und man muss stattdessen die Jordan Normalform nutzen, vieles streicht sich aber trotzdem weg, wegwerfen man dann nur die 1. Zeile von Q^-1 und die 8. Spalte von Q braucht. Am Ende kommt aber trotzdem das selbe raus)
Die Zerlegung lässt sich hiermit bestimmen (Beachte, dass die Matrix hier mal 3 genommen wurde):
Man erhält dadurch (nachdem man alles zusammfasst), folgende Wahrscheinlichkeit dass der Floh am n+1. Sprung am Ziel ankommt:
sqrt(7/9)^n * (1+(-1)^n)/7 für n>=2.
Man sieht, dass diese Wahrscheinlichkeit nur für gerade n ungleich 0 ist (was auch Sinn ergibt)
Für n=2 erhält man dann zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit 2/9. Das ist die Wahrscheinlichkeit beim 3. Sprung anzukommen. (Vergleiche das mit dem Ergebnis von FabianPavian)
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, beim 2k+1. Sprung anzukommen gleich:
2/7*(7/9)^k (einfach n durch 2k ersetzen)
Der Erwartungswert ist dann die Summe von
(2k+1)*2/7*(7/9)^k von k=1 bis unendlich
Und das ist laut Wolfram Alpha 10.
Man kann also erwarten, dass der Flo nach 10 Sprüngen ankommt.
Ich kann leider nicht garantieren, dass es der "Einfachste" weg ist, vielleicht übersehe ich auch etwas offensichtliches, was das berechnen um einiges einfacher macht. Aber egal, da ich Markovkette ganz nett finde, hat es zumindest für mich Spaß gemacht, es auszurechnen xd
Guten Morgen, wie versprochen habe ich das, als hilfreichste Antwort ausgezeichnet.
Allerdings frage ich mich ob das Ergebnis wirklich richtig ist. Wenn man mal annimmt der Floh wäre so programmiert, das er eventuell 3 Sprünge oder unendliche Sprünge macht, wäre ja dann der Erwartungswert ( Unendlich + 3) : 2 aber, was soll da als Ergebnis raus kommen, da wäre doch alles möglich also nicht definiert. Oder bei unendlich : unendlich , ist doch alles möglich , eben so wie 0 : 0 , alles möglich wäre , nicht definiert. Auch bei unendlich mal 2 oder 1, wäre doch alles möglich, jedes Ergebnis was unendlich ist wäre möglich, es wäre unendlich + unendlich oder auch unendlich +3 usw. möglich. es ist doch irgendwie Unsinn unendlich mal 2 wäre genau unendlich + unendlich genau so gut wie es unendlich + unendlich + unendlich oder auch unendlich + 3 sein könnte,
Kurz der Erwartungswert ist für mich nicht definiert, weil, wenn man mit unendlich rechnet, mit den man eigentlich nicht rechnen kann.
Wenn man mal annimmt der Floh wäre so programmiert, das er eventuell 3 Sprünge oder unendliche Sprünge macht, wäre ja dann der Erwartungswert ( Unendlich + 3) : 2
Nur wenn beide Anzahlen gleich wahrscheinlich sind und ja, dann wäre der Erwartungswert nicht definiert. Da aber der Floh mehr als diese beiden Ergebnisse haben kann, und die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind, ist diese Überlegung irrelevant.
Der (diskrete) Erwartungswert ist definiert als die Summe von
n*P(n) vom n=1 bis unendlich, wobei P(n) die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ergebnis n ist.
Es ist also eine Unendliche Summe (aka Reihe) unendliche Summen können aber einen endlichen Wert haben, und das ist hier der Fall.
Es gibt ziemlich viele Zufallsexperimente, die unendlich viele Ergebnisse haben können, und trotzdem einen endlichen Erwartungswert besitzen. Zum Beispiel die Geometrische Verteilung oder die Poisson Verteilung.
Vielen Dank! Irgendwie klingt das auch gut. Aber ich bin nur Laie. Und um alles besser zu verstehen. Ich kann manches einfach nicht lesen, weil ich einfach nicht weiß weis der * bedeutet.
Was bedeutet der *?
Ich will Jangler13 nicht die hilfreichste Antwort streitig machen :-), dennoch hier noch eine alternative Möglichkeit, statt der Übergangswahrscheinlichkeiten direkt eine Rekursion für den Erwartungswert zu bestimmen. Ich bezeichne mit xi den Erwartungswert der Anzahl Schritte bis in die Ecke Nr. 8 (Bezeichnung wie in Jangler13's Bild). Dann hat man z.B. x1 = 1 + (x2+x4+x6)/3 und x8 = 0. Für das ganze Gleichungssystem lasse ich Wolfram die Arbeit machen, das Ergebnis ist x1 = 10.
x1 = 1 + (x2+x4+x6)/3 AND x2 = 1 + (x1+x3+x7)/3 AND x3 = 1 + (x2+x4+x8)/3 AND x4 = 1 + (x1+x5+x7)/3 AND x5 = 1 + (x4+x6+x8)/3 AND x6 = 1 + (x1+x5+x7)/3 AND x7 = 1 + (x2+x6+x8)/3 AND x8 = 0
Geht die Anzahl der Sprünge gegen unendlich, ist der Erwartungswert 1, dass er zwischenzeitlich öfter mal in der hinteren, oberen, rechten Ecke war, um genau zu sein unendlich oft.
Die Wahrscheinlichkeit nach genau 3 Sprüngen die Ecke zu erreichen ist:
3/3 * 2/3 * 1/3 = 2/9
Vielleicht hilft dir das schon mal weiter.
Deine eigentliche Frage ist wohl, wie viel Sprünge der Floh durchschnittlich braucht. Oder?
Ja, denke ich.
So wie ich die Frage mal gehört habe, Ich lasse den Floh springen , was kann ich erwarten an Anzahl von Sprüngen . Es kann ja sein das er es gleich nach 3 Sprüngen schaft oder nach 21 Sprüngen, er kann ja jede Kante eventuell springen oder die Anzahl an Sprüngen unendlich ist
Also für 3 Sprünge ist p=2/9
Für 4 Sprünge p=0
Für 5 Sprünge 7/9 * (1/3 * 2/9 + 2/3 * 2/9) = 7/9 * (2/27 + 4/27) = 7/9 * 6/27 = 7/9 * 2/9 = 14/81
Für 6 Sprünge p=0
Für 7 Sprünge (1 - 18/81 - 14/81) * 2/9 = 49/81 * 2/9 = 98/729
Für 8 Sprünge p=0
Für 9 Sprünge (729/729 - 162/729 - 126/729 - 98/729) * 2/9 = 343/729 * 2/9 = 686/6561
Den Rest musst du selbst machen, nummerisch mit Excel lösen.
Dann summierst du 3 * 2/9 + 5 * 14/81 + 7 * 98/729 + 9 * 686/6561 ...
Das Ergebnis ist dein Erwartungswert nach wie vielen Sprüngen der blinde Floh das erste mal die richtige Ecke erreicht hat.
Hm ich komme bei drei sprüngen auf p=1/6, wie geht deine Überlegung für p=2/9 ?
Der Floh springt immer von Ecke zu Ecke. Beim ersten Sprung hat er drei Möglichkeiten und jeder Sprung bringt ihn dem Ziel näher. Beim zweiten Sprung hat er wiederum drei Möglichkeiten, aber nur zwei Ecken bringen ihn dem Ziel näher. Beim dritten Sprung hat er wiederum drei Möglichkeiten, aber nur eine Ecke ist die Zielecke.
Muss ehrlich sagen ich verstehe gar nichts. Für mich wäre der kleinste Wert 3 Sprünge der nächst größere 5 dann 7 usw. klar ist mir um das der Floh an der anderen Ecke ankommt braucht er eine ungerade Anzahl an Sprüngen. Nur der Erwartungswert ist doch so was wie der Durchschnittswert und nicht der tasäschliche Wert. Oder sehe ich das falsch? Also könnte vielleicht der Erwartungswert bei 8 ; 4: 5; 7 ; 11; 40 usw liegen aber er kann nie bei 2 oder 1 doch liegen, weil er doch mindestens 3 Sprünge braucht.
Muss ehrlich sagen ich verstehe gar nichts. Für mich wäre der kleinste Wert 3 Sprünge der nächst größere 5 dann 7 usw.
Da sind wir uns schon einmal einig.
klar ist mir um das der Floh an der anderen Ecke ankommt braucht er eine ungerade Anzahl an Sprüngen. Nur der Erwartungswert ist doch so was wie der Durchschnittswert und nicht der tasäschliche Wert.
Das stimmt ebenfalls.
Oder sehe ich das falch? Also könnte vielleicht der Erwartungswert bei 8 ; 4: 5; 7 ; 11; 40 usw liegen aber er kann nie bei 2 oder 1 doch liegen, weil er doch mindestens 3 Sprünge braucht.
Wenn es wichtig für dich ist, könnte ich es mit einer Excel-Tabelle nummerisch lösen. Ich schätze mal, dass der Erwartungswert ungefähr bei 6 liegt.
Wäre schon nett, aber da kannst Du Dir zeit lassen reich auch Morgen oder eventuell auch erst in 14 Tagen.
Ich habe das jetzt mal nummerisch gelöst. Der Erwartungswert ist exakt 10. Eine mathematisch geschlossene Lösung kann ich nicht finden.
Danke ich hatte die gleichen Überlegungen aber komischerweise statt 2/3 nur 1/2 geschrieben
Und die Standardabweichung ist übrigens ebenfalls 10, ermittelt per Simulation. Wie bist du zu deiner Lösung gekommen?
,,Der Floh springt immer von Ecke zu Ecke. Beim ersten Sprung hat er drei Möglichkeiten und jeder Sprung bringt ihn dem Ziel näher"
Aber doch nicht unbedingt, das gilt doch nur, wenn der Floh eine ungerade Anzahl an Sprüngen gemacht hat Bei einer geraden Anzahl von Sprüngen muss der kurzeste Weg nicht unbedingt nur ein Sprung sein , denn wenn der Floh mit den 2. Sprung wieder zurück gesprungen ist, ist ja dann ist der kurzeste Weg wieder 3 Sprünge.
Genau. Vom Start zum Ziel muss der Floh immer eine ungerade Anzahl von Sprüngen gemacht haben.
Ich bin es aber gewohnt stets als erster das richtige Ergebnis liefern zu können (so auch bei deiner Frage), aber keiner versteht meine Erklärung (so auch bei deiner Frage).
Die Standardabweichung ist bei meiner Rechnung anders.
Wenn X die Zufallsvariable für die Anzahl der Sprünge ist,
Ist ja E(X^2) = die Summe von (2k+1)^2 *2/7*(7/9)^k von k=1 bis unendlich, und das ist nach Wolfram Alpha gleich 163.
E(X)^2=10^2=100.
Somit ist Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=63
Die Standardabweichung ist also die Wurzel von 63, also ca 7,94
Das kann sein, liest sich gut. Ich habe die Standardabweichung nur mittels einer Simulation ermittelt. Da könnte einfach die Anzahl der Simulationen zu gering gewesen sein, oder die Zufallszahlen von Excel taugen nichts.
i von 0 bis oo:
E(X) = Summe x_i * p_i(x_i)
p_i(3) = 1 * 2/3 * 1/3
usw.
Muster erkennen, Summenformel aufstellen, Summe ermitteln mit eventuell etwas Richtung geometrischer Reihe
Ja ich bin kein Mathematiker.
Wollte eigentlich das Ergebnis wissen mit gut beschrieben Lösungsweg.
Das reicht auch, wenn Du mir Morgen oder übermorgen oder etwa erst in 4 Wochen das Ergebnis sagst.aber für einen Laien verständlich .
Vielen Dank schon mal für die Antwort. Dein Ergebnis ist bestimmt richtig, denn dieses Ergebnis habe ich auch schon mal gehört. Und vielen Dank für die Mühe. Aber jetzt ist es Nachts und mein Gehirn ist jetzt nicht mehr ganz auf der Höhe. Drumm lese ich mir das am Tag durch. Da Du der erste warst und Du Dir so viel Mühe gegeben hast einen Laien das zu erklären , werde ich das als beste Antwort auszeichnen.
In diesen Sinne
Gute Nacht.