Wie geht das, wenn die Hochzahlen nicht mit der abc-formel berechenbar sind, also 0=2x^3-5x^2+12, also mit der abc-formel kann man dies nicht, weis jemand das?
5 Antworten
Hallo,
da gibt es mehrere Möglichkeiten.
Die einfachste: laß den Taschenrechner ran.
Die häufigste bei Schüleraufgaben: Eine Nullstelle raten. Meist lohnt es sich, die Teiler des absoluten Gliedes abzuklopfen (auch die negativen).
Dann wird per Polynomdivision durch x minus Nullstelle geteilt und der Rest - eine quadratische Gleichung, auf herkömmliche Art und Weise gelöst.
Wenn Du in etwa eine Ahnung hast, wo sich eine Nullstelle befinden könnte (Wertetabelle), kannst Du eine Zahl in deren Nähe als Startwert nehmen und ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren anwenden, das oft schon nach 3 oder 4 Wiederholungen ziemlich genau am gewünschten Ergebnis liegt.
Außerdem gibt es die cardanischen Formeln, mit denen Du kubische Gleichungen lösen kannst. Sie liefern alle Nullstellen - auch die komplexen - sind aber nicht ganz so einfach anzuwenden wie die pq- oder abc-Formel, mit etwas Übung aber auch von Amateuren anwendbar.
Eine etwas einfachere Form der cardanischen Formeln (die reduzierte Form) kann angewandt werden, wenn das quadratische Glied fehlt, also bei
x³+ax+b=0
Wenn das absolute Glied (die Zahl ohne x) fehlt, klammerst Du einfach ein x aus, womit die erste Nullstelle gleich Null ist und löst den Term in der Klammer, der dann quadratisch ist.
Hast Du eine biquadratische Gleichung der Form ax^4+bx^2+c=0, ersetzt Du x^2 durch u und löst die Gleichung au²+bu+c=0 Anschließend wird u wieder durch x² ersetzt. So kommst Du auf bis zu vier Lösungen (Nullstellen).
Wenn u z.B. gleich 2 oder 4, ist x die negative oder positive Wurzel aus 2 oder 4. Bekommst Du für u eine negative Zahl, findest Du hier keine reelle Lösung für x, weil es aus negativen Zahlen nur komplexe Wurzeln gibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Wendestelle findest Du bei Polynomfunktionen dritten Grades übrigens immer zwischen den beiden Extremstellen.
Steht vor dem x^3 eine positive Zahl, kommt die Funktion aus dem negativen Unendlichen, steigt bis zum Maximum (falls die erste Ableitung überhaupt Nullstellen hat) fällt wieder bis zum Minimum und steigt bis ins positive Unendliche.
Steht vor dem x³ eine negative Zahl, ist es umgekehrt:
Plus unendlich, Minimum, Maximum, minus unendlich. Genau zwischen Maximum und Minimum oder umgekehrt liegt die Wendestelle.
Außerdem gibt es bis zu drei reelle Nullstellen, aber mindestens eine, weil die x-Achse irgendwo auf jeden Fall geschnitten werden muß.
Sind zwei Nullstellen vorhanden, ist eine davon eine doppelte, sie ist also zugleich ein Maximum oder Minimum.
Man muss durch "probieren" die 1. Nullstelle herausfinden oder chematisch mit dem Horner-Schema. Dann die Polynomdivision mit (x-x0)
Viel Spaß bei der Polynomdivision durch x+1,262763858
Herzliche Grüße,
Willy
Na wenn es so ist, kann man die natürlich vergessen und nur mit Näherungsverfahren weiter kommen.
Du kannSt für x^2 Z einsetzen und dann die pq formel anwenden danach musst du aus allen Ergebnissen die Wurzel Ziehen. Dadurch kommen bis zu vier Lösungen raus falls der Taschenrechner mal sagt dass ein Fehler vorliegt hast du nichts falsch gemacht sondern es gibt einfach eine Lösung weniger
Tipp: du musst aus den beiden Ergebnissen einmal die positive und einmal die negative Wurzel ziehen damit vier Ergebnisse heraus kommen
Du siehst schon, dass an einer Stelle x³ und nicht x⁴ steht, oder?
Deine Methode klappt hier nicht.
1. Eine Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. In diesem Fall: n=3
2. Substitution durch z=x^2 wäre machbar, wenn das erste Glied der Funktion x^4 wäre.
Hier ist es am einfachsten eine Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision durchzuführen.
Bei gestellten Aufgaben sind das meistens niedrige, natürliche Zahlen.
Hier ist es 2, denn 8 - 20 + 12 = 0.
Weißt du wie Polynomdivision geht?
Auf Youtube solltest du zur Not was dazu finden.
Polynomdivison ist ein guter Hinweiß, allerdings ergibt 2*2^3=16 und nicht 8, daher ist bei x=2 keine Nullstelle ;)
Die einzige reelle Nullstelle liegt bei -1,262763858.
Da kannst Du das Raten vergessen.
Hier hilft nur der Rechner, ein Näherungsverfahren oder die cardanische Formel.
Ich habe den Rechner rödeln lassen (bin doch nicht bekloppt)
Willy
Hier wird es erklärt: http://www.mathebibel.de/kubische-gleichungen-loesen
Bei Deiner Gleichung kannst Du das Raten vergessen.
Die cardanische Formel würde Dir zwar das Ergebnis bringen, aber Wurzeln 2. und 3. Grades aus krummen Zahlen zu ziehen bekommst Du ohne Rechner wahrscheinlich eh nicht hin. Da kannst Du auch sofort die Gleichung eingeben.
Solltest Du so ein Ding in der Klausur bekommen, ohne daß Du den Rechner benutzen darfst, mach mit dem Horner-Schema eine Wertetabelle und schätze ab, wo sich die Nullstelle in etwa befindet. Um einen Graphen zu skizzieren, reicht das völlig aus.
Dann noch Maxima und Minima und die Wendestelle berechnen und sehen, was das Ding Richtung plus oder minus unendlich macht (stetig ist es schließlich) und fertig ist die Laube.