Mathe ABC-Formel anwenden bei x³?
Hallo,
und zwar habe ich mal eine kleine Frage.
Wie kann man z. B. die Mitternachtsformel/ABC-Formel bei folgender Aufgabe benutzen:
x³ + 2x² + 3x + 4 ?
Würde mich um hilfreiche Antworten sehr freuen.
Danke
8 Antworten
Sämtliche Lösungsformeln, welche du bei quadratischen Gleichungen anwenden kannst, funktionieren auch nur ausschließlich bei quadr. Gleichungen (biquadr. Gleichungen zähle ich mal dazu).
Vielleicht habt ihr schon gelernt, dass man jede ganzrationale Funktion in Linearfaktoren zerlegen kann, sodass f(x)=(x-x1)*(x-x2)... entsteht, wobei x1,x2... die Nullstellen sind.
Wir wissen also, dass man f(x)=x³+2x²+3x+4 irgendwie in diese Faktoren zerlegen kann, und es maximal drei dieser Faktoren gibt (Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen! Hier Grad 3, also max. 3 Nullstellen)
Wenn man von f(x) also einen dieser Linearfaktoren abspaltet, erhält man eine Gleichung zweiten Grades (-->Distributivgesetz)
Ergo: Wir wissen, dass x³+2x²+3x+4=(x-x1)*(ax²+bx+c) gilt.
Wenn wir jetzt irgendeinen dieser Linearfaktoren kennen würden, dann könnten wir doch die linke Seite der Gleichung durch diesen teilen. Vielleicht kann man ja einfach mal 'ne Nullstelle raten, manchmal klappt das, und dann hätte man ja einen Linearfaktor.
Hier aber: Pech gehabt. Die Funktion hat nur eine einzige Nullstelle bei x~-1.65. Das rät man nicht so schnell, da muss man mit 'nem Näherungsverfahren ran.
Aber: Stellen wir uns vor, wir hätten jetzt eine Nullstelle geraten. Nehmen wir x=2 (stimmt hier nicht, aber wir tun so! Du sollst sowas ja immerhin auch lösen können, wenn so eine Aufgabe kommt, die auf diese Weise lösbar ist)
Also: x³+2x²+3x+4=(x-2)*(ax²+bx+c)| :(x-2)
[x³+2x²+3x+4]/(x-2) = ax²+bx+c
Da käme dann links die Polynomdivision ins Spiel. Wie die geht, findest du im Internet, das ist hier jetzt zu mühselig zu erklären. Wenn alles gut läuft, hast du am Ende einen Restterm zweiten Grades, also haben wir:
f(x)/(x-2)=ax²+bx+c
So, jetzt links einfach 0 setzen und lösen - fertig.
Nochmal in kurz:
Wenn f(x)=ax³+bx²+cx+d (mit d ungleich 0) gilt, dann:
1. Nullstelle raten
2. Wenn Nullstelle nicht erratbar, dann Näherungsverfahren
3. Dann die Funktion durch (x-Nullstelle) teilen (-->Polynomdivision)
4. Restterm auf Nullstellen untersuchen
Nicht durch x teilen, sondern durch einen Linearfaktor, den du kennst, bspw. (x-3). Dann 'teilst' du ja quasi einen Grad weg, aus Grad 3 wird Grad 2, und dafür kennst du ja die Lösungsformeln.
Durch x teilen ist nicht drin. Würdest du "richtig" durch x teilen, dann müsstest du auch die 1 durch x teilen, hättest also x²+x+1+1/x, und das bringt dich genau 0 Schritte weiter.
Nullstellen raten klingt vielleicht billig, aber ist durchaus erlaubt. Einfach mal so die ganzen Zahlen von -3 bis 3 durchprobieren, oft wird man da fündig. Wenn du in dem Intervall nichts findest, gibt es da auch 'nen tollen Satz, der hilft manchmal:
Gibt es eine rationale Nullstelle n mit n=p/q (p und q sind aus teilerfremd) , so muss p das Absolutglied der Funktion teilen und q muss den Leitkoeffizienten teilen.
Nehmen wir mal f(x)=2x³ + 4x² + 6x + 4. Leitkoeffizient ist 2, Absolutglied ist 4. Sollte es eine rationale Nullstelle geben, muss der Nenner ein Teiler von 2 (also -2,-1,1,2) und der Zähler ein Teiler von 4 (also -4,-3,-2...)sein.
Dann also einfach alle Kombis durchprobieren, bis du ' ne Nullstelle findest, also -2/(-4), -2/(-3) ... -1/(-4), -1/(-3)... 1/(-4), 1/(-3), 2/(-4), 2/(-3)... Mühselig, aber wenn es eine rationale Nullstelle gibt, findest du sie so auf jeden Fall!
Wenn du so auf nix kommst, nimmst du ein Näherungsverfahren, das
kommt in der Schule aber gefühlt nie vor. Schau es dir trotzdem lieber
an (--> Wikipedia: Newton-Verfahren).
So, wenn du dann eine rationale Nullstelle gefunden hast, teilst du deine Funktion durch den entspr. Linearfaktor, also [2x³+4x²+6x+4]/(x+1) (-1 ist Nullstelle)
Dann bleibt 2x^2 + 2x + 4 übrig, das hat keine Nullstellen mehr --> fertig.
Ich finde es zwar einfacher als die Polynomdivision, aber es braucht viel mehr Zeit, die man in 'ner Klausur nicht hat.
Beim Newton-Verfahren muss man für jede Nullstelle ''neu ansetzen'', mit der Polynomdivision geht alles in einem Rutsch. Zudem muss man beim Newton-Verfahren zumindest einen groben Plan haben, wo sich alle Nullstellen befinden - wenn du in der Klausur keine Graphik dazu hast, musst du den Graphen also mit 'ner Wertetabelle von Hand aus zeichnen, was nochmal Zeit frisst.
Also: Ich finde das Newton-Verfahren an sich leichter, aber es dauert einfach viel länger und wir in der Schule wirklich kaum benötigt. Ich bin durch die gesamte Oberstufe gekommen, ohne es einmal anrühren zu müssen (Jahrgang 2015-17 Gesamtschule). Deshalb lieber die Polynomdivision aneignen, die brauchst du bei gebrochen-rationalen Funktionen und deren Asymptotenberechnung sowieso, spätestens dann musst du sie können, also warum nicht jetzt schon beherrschen?
Hey, ich habe die Klausur vor ca. einer Woche geschrieben. Ich habe ein gutes Gefühl. Aber so eine Aufgabe kam doch nicht dran, sondern eher so eine:
2x³ + 4x² + 6x
Hab dann einfach x * (2x² + 4x + 6) gemacht.
Das erste x vor der Klammer ist die erste Nullstelle (0)
Und die zwei anderen Nullstellen 2x² + 4x + 6 = 0 habe ich dann mit der ABC-Formel gelöst.
Also das mit x³ + 2x² + 3x + 4 hatten wir noch nicht, aber gut zu wissen, dass es sowas auch gibt. Denn ich habe das auch verstanden und vielleicht werden wir das in der Oberstufe auch machen.
Die Aufgabe lautet offenbar richtig 3x + 2x² +3x + 4 = 0 und ist demnach leicht zu lösen. Bitte auch nochmals selbst rechnen, sonst ist der Lernerfolg gleich Null!: 3x + 2x² + 3x + 4 = 0 I ordnen und zusammenfassen:2x² + 6x + 4 = 0 I Mitternachtsformel anwenden oder durch 2 teilen: x² + 3x + 2 = 0 I PQ-Formel anwenden: p = 3, q = 2 x = -(p/2) +,- Wurzel((p/2)² - q) x1 = -3/2 + Wurzel(9/4 - 8/4) = -3/2 + 1/2 = -1 x2 = -3/2 - 1/2 = -2
Sry wie kommst du auf 3x + 2x² + 3x + 4 = 0 ?
Meine Aufgabe ist komplett anders => x³ + 2x² + 3x + 4
Nach Deinen Angaben heißt die Aufgabe:
x³ + 2x² + 3x +4 = 0
Hierzu muss man eine Nulstelle erraten/finden/ausprobieren. Der x-Wert dieser Nullstelle muss auf jeden Fall negativ sein, damit der ganze Term zu Null werden kann. Durch probeweises Einsetzen verschiedener x-Werte zwischen -1 und -2 und Anschauen des Ergebnisses kann man hier den ungefähren Wert x3 = -1,65 finden.
Teilt man x³ + 2x² + 3x + 4 durch (x+1,65), so erhält man den Restterm
x² + 0,35x + 2,4225.
Setzt man diesen Term gleich Null, so kann man die üblichen Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen anwenden. Mit der pq-Formel und den Werten p = 0,35 und q = 2,4225 erhält man:
x1 = -0,35/2 + Wurzel((0,35/2)² - 2,4225) = -0,175 + Wurzel(-2,392)
x2 = -0,175 - Wurzel(-2,392)
Es gibt wegen der negativen Zahl unter der Wurzel keine rellen Lösungswerte für x1 und x2.
Demnach hat die Aufgabe nur die eine Nullstelle x3 gleich ungefähr -1,65.
Du benutzt sie gar nicht.
Die ABC Formel funktioniert nur bei quadratischen Gleichungen der form :
0 = ax^2 + bx + c
x³ + 2x² + 3x + 4 I Ordnen
x^3 + 2x^2 + 3x + 4 = 0
Du bist hier leider verdonnert eine Nullstelle zu erraten und dann eine Polynomdivision oder andere Verfahren zu nutzen.
Danach könnte möglicherweise eine quadratische Gleichung kommen.
Direkt gar nicht.
Du musst zuerst eine Nullstelle erraten. Dann machst du Polynomdivision, sodass du bei einem Polynom zweiten Grades landest. Dann kannst du die ABC-Formel auf dieses Polynom loslassen und erhältst so die übrigen Nullstellen.
Hey MeRoXas,
Danke dir, dass du dir die Mühe gegeben hast, diesen Text zu schreiben. Wir hatten schon das mit den Linearfaktoren gehabt z. B.
f(x) = (x-3) * (x + 1,5) * (x+4)
Da wären dann die Nullstellen x1 = +3 | x2 = -1,5 | x3 = -4, glaube ich mal.
Aber die oben genannte Aufgabe, welche ich geschrieben habe, weiß ich leider nicht, wie ich die "Nullstellen" raten soll. Das mit Polynomdivision habe ich auch verstanden.
Also wenn z. B. x³ + x² + x + 1 = 0 ist, dann muss ich das Ganze einfach durch x teilen, damit ich dann die ABC-Formel anwenden kann.
Wäre ja in dem Fall x² + x + 1 = 0, oder nicht? Aber was passiert mit diesen x, welches ich geteilt habe?
Andere Alternative wäre ja Nullstelle raten, aber das habe ich nicht verstanden.