Wie funktioniert die Termumformung zu Grenzwertbestimmung bei "komischen" Termen? DRINGEND :(
Also, erstmal ist das keine Hausaufgabenfrage, sondern eine Verständnisfrage. Ich mach ein Beispiel um die "komischen" Terme klar zu machen.
Also, ich verstehe, wie man das macht wenn man einen Term hat, wie (x²-4)/(x-2) geht, weil x²-4 ja eine eindeutige binomische Formel von (x-2)*(x+2) ist.
Wie ist das denn z.B. mit (x³-x)/(x+1)? Da ist doch x+1 keine binomische Formel von (x³-x), wie kann man denn dann in den oberen Bruchstrich (x+1) machen.
Und nicht nur für dieses Beispiel, sondern wie kann man im allgemeinen immer die obere Klammer auch mit der unteren aufteilen?
Wenn ihr nicht genau versteh, was ich wissen will, sagt bitte Bescheid. Es ist sehr sehr wichtig!
Ich danke euch allen!
6 Antworten
Grenzwertbildung für solche Terme als gebrochenrationale Potenzfunktionen ist doch eigentlich ganz einfach, daher verwundern mich die anderen Antworten hier, aber evtl. habe ich auch gerade was missverstanden...
Wenn es um das Randverhalten solcher Terme als Funktionen geht, einfach im Zähler und Nenner die größte Potenz zur Basis x ausklammern.
f(x)=(x^3-x)(x+1) = [x^3(1-1/x^2)] / [x(1+1/x)] = [x^2(1-1/x^2)] / [1+1/x]
lim x gegen +unendlich ([x^2(1-1/x^2)] / [1+1/x]) = +unendlich
Weil -1/x^2 und 1/x dabei gegen Null gehen (also wegfallen) und der Rest +unendlich ergibt, entsprechend auch so bei -unendlich verfahren.
Aber evtl. ging nur darum, den Term zu vereinfachen, dann wären die anderen Antworten sinnvoll, zu beachten wäre aber dabei noch, dass sich dann u.U. der Definitionsbereich ändert.
Kläre doch mal bitte auf, worum es ganz genau gehen soll...
(x³ - x) / (x + 1) = x * (x² - 1) / (x + 1) = (x - 1) * (x + 1) / (x + 1) usw.
Wieso? Ich habe hier doch gar keine Polynomdivision gemacht. Ich habe einfach aus der Klammer ein x herausgehoben ("ausgeklammert"), und schon stand da ein Ausdruck, den man mit der binomischen Formel zerlegen kann.
aaah, okay danke. aber was ist dann z.B. mit (3-x)/(2x²-6x)
Auch das geht mit Ausklammern:
(3 - x) / (2x² - 6x) = (3 - x) / [2x * (x - 3)] = - (x - 3) / [2x * (x - 3)]
und dann hat man da -1/2 x stehen und hat doch gar keinen Grenzwert, oder?
Wo war denn bisher von Grenzwerten die Rede? Was willst Du wo gegen gehen lassen? In dem Beispiel hast du da stehen
-1/(2x) (Klammern nicht vergessen, das ist was anderes als -1/2 x!!!)
Wenn du da x gegen Null gehen lässt, bekommst Du -unendlich heraus - konvergiert also nicht. Wenn x gegen unendlich gehen lässt, geht das gegen Null.
Doch. Für x musst du ja den Wert einsetzen, für den du den Grenzwert bestimmen sollst.
Wenn du z.B. den Grenzwert für x → ∞ bestimmen sollst, dann setzt du in dein Ergebnis für x den Wert ∞ ein. Damit ergibt sich als Grenzwert -1/(2 * ∞), und das ist 0 (jede von Null verschiedene Zahl gebrochen durch Unendlich ergibt Null).
In diesem Beispiel halt gegen 3 und ich glaub, dass ich as jetzt dank dir verstanden habe. Dankeschöön!
aaaah :) Danke Danke Danke! Ich probier das jetzt noch ein paar Mal aus, vielleicht schaff ich jetzt doch meine Mathe-Klausur!
ich hab da eine Frage, wie ist das denn bei (x^4-16)/(x-2) Ich mein, ich seh ja, dass es da einen Zusammenhang gibt. Im Zähler könnte ja dann (x-2^4), aber wie macht man das dann mit der hoch4?
Danke!
(x^4 - 16) / (x - 2) = (x² - 4) * (x² + 4) / (x - 2) = (x - 2) * (x + 2) * (x² + 4) / (x - 2)
Weiter wie bisher ...
So, jetzt geh' ich schlafen.
Ich würde Dir gerne empfehlen, um zu Verständnis zu gelangen, zu youtube zu gehen. Der dortige Unterricht ist nachweislich der beste bei naturwissenschaftlichen Fächern außer die selbst durchgeführten Experimente. Es wird dort auch auf Deine Frage ausführlich eingegangen. Und achtest Du darauf, wer veröffentlicht, findest Du so manche sehr gute und mittlerweile auch mit Preisen ausgezeichnete weitere Seite wo Du fachsimpeln kannst, Übungen findest und so fort.
Nein, das ist nun tatsächlich nicht die Antwort welche Du erwartet hast. Es ist aber nun mal viel verständlicher wenn Dir durch Bilder anhand von Beispielen aus der Praxis erklärt wird als wenn hier nur Buchstaben und Zahlen aneinander gereiht werden. Nachweislich ist dann das Verständnis bedeutend besser und es verbleibt länger im Kopf.
ja, ist so. Ich hab mich schon voll gefreut gehabt und dann sowas.
Bei Youtube kommen aber nur doofe Sachen raus. Die verstehen Termumvormung ganz anders. Auch, wenn ich noch limes dazu eingebe...
Deine Aufgabe habe ich mal eingegeben in die Suchmaske. Schau mal nach was dann raus kommt. Es macht halt immer wieder Sinn die dümmste Abfrage zu wählen. -:)
Wenn du so einen Ausdruck hast, dann solltest du zunächst einmal alles ausklammern, was irgendwie geht.
Also beii (x³ - x) das x ausklammern.:
(x³ - x) = x (x² -1).
Dann kannst du schauen, ob du eine binomische Formel anwenden kannst:
(x³ - x) = x (x-1) (x+1).
Aber der erste Schritt ist wichtig: Ausklammern, was man irgendwie ausklammern kann!
wie ist das bei (x^4-16)/(x-2) Ich seh schon, dass es da einen Zusammenhang gibt. Im Zähler könnte ja dann (x-2^4), aber wie macht man das dann mit der hoch4? Also, wie kriegt man die weg? Weil man kann ja nicht die 4. Wurzel vom ganzen Zähler nehmen, oder?
wie ist das bei (x^4-16)/(x-2)
Zähler:
x^4-16 = | 3.binomische Formel
(x²+4)(x²-4) = | 3.binomische Formel bei der zweiten Klammer
(x²+4)(x+2)(x-2)
Demnach kannst du den Bruchterm durch x-2 kürzen, übrige bleibt (x²+4)(x+2).
wie ist das bei (x^4-16)/(x-2)
Zähler:
x^4-16 = | 3.binomische Formel
(x²+4)(x²-4) = | 3.binomische Formel bei der zweiten Klammer
(x²+4)(x+2)(x-2)
und darauf kommt man nur mit Polynomdivision? Weil wir müssen Polynomdivision nicht können und im Buch steht das unter "Termumformung".