Wie beweist man, dass wenn AB=DC, dann AD=BC gilt?
Dabei sind alles vier Ortvektoren (Pfeil über AB, DC, AD und BC).
Und um was für ein Viereck handelt es sich dann?
4 Antworten
Man kann die Vektoren als Differenz der entsprechenden Ortsvektoren schreiben, dann die Gleichung etwas umformen und dann Differenzen von Ortsvektoren wieder zu Vektoren zusammenfassen:
Ansonsten könnte man auch auf beiden Seiten der Gleichung den Vektor BD addieren:
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Beim Viereck ABCD handelt es sich dann um ein Parallelogramm. Denn wenn die Vektoren AB und DC gleich sind, so sind die Seiten [AB] und [DC] des Vierecks parallel und gleich lang. (Und da dann auch die Vektoren AD und BC gleich sind, sind auch die Seiten [AD] und [BC] parallel und gleich lang.)
Übrigens sind die Vektoren AB, DC, AD und BC keine "Ortsvektoren". Denn Ortsvektoren gehen von einem fest gewählten Ursprung aus, was bei den gegebenen Vektoren nicht der Fall ist.
Es sind wohl "nur" Vektoren, keine Ortsvektoren, ansonsten müssten A=D und B=C sein und A und D den Bezugspunkt der Ortsvektoren darstellen. In diesem Fall würde auch kein Viereck aufgespannt, AD und BC wären Vektoren der Länge 0. Zudem müsste, wenn auch BC ein Ortsvektor wäre, auch B = A sein, du hättest somit nur noch 4 "degenerierte" Vektoren im Ursprung mit der Länge 0.
Wenn A <> D dann wird so ein Parallelogramm aufgespannt.
zeichne ein Rechteck mit den Punkten A,B,C und D
A nimmst du als Stützpunkt.
Aus der Zeichnung siehst du dann,das es ein rechteck sein muß,weil
(Ab) und (Cd) parallel zu einander liegen
Bedingung für 2 parallele Vektoren anwenden
ausßerdem sind (AD) und (BC) die Diagomalen des Rechtecks.
Beim Parallelogramm wäre (Ad) ungleich (BC).
Hast du dir das selbst mal aufgezeichnet? Das stimmt nämlich nicht, was du da behauptest.
Erst einmal muss es sich nicht unbedingt um ein Rechteck handeln. Es kann auch ein Parallelogramm sein, dass kein Rechteck ist.
Außerdem hier sind [AD] und [BC] keine Diagonalen des Rechtecks/Parallelogramms.
Und du schreibst, dass bei einem Parallelogramm [AD] und [BC] nicht die gleiche Strecke sein können. (Die entsprechenden Vektoren sind jedoch evtl. gleich.) Dies ist natürlich auch bei einem Rechteck der Fall. Dir ist schon klar, dass jedes Rechteck insbesondere auch ein Parallelogramm ist, oder?
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Hier eine Beispielskizze:
Mittels Linearkombination von Vektoren.
Das Viereck ist ein Parallelogramm.
Ja, es kann auch ein Rechteck sein, muss es aber nicht.
Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm. Die Aussage, dass es sich bei einem entsprechenden Viereck um ein Parallelogramm handelt ist auf jeden Fall richtig.
@fjf100
(AD) und (BC) sind keine Diagonalen. Die Aufgabenstellung ist eindeutig ein Parallelogramm.
kann nicht sein,weil die Diagonalen (AD) und (BC) gleich lang sein sollen.
Beim Parallelogramm ist das nicht so.