Wie bestimme ich die Tangente an einem mehrdimensionalen Punkt?
Ich verstehe nicht, wie ich bei der Aufgabe d) die Tangente bestimme. Kann mir jemand den Ansatz eventuell geben?
3 Antworten
Die Tangente einer eindimensionalen Funktion f(x) im Punkt (a) ist eine Gerade:
y = f(a) + f'(a)*(x-a)
Die Tangente einer zweidimensionalen Funktion f(x,y) im Punkt (a,b) ist eine Ebene:
(I): z = f(a,b) + fx'(a,b)*(x-a) + fy'(a,b)*(y-b)
Gegeben:
f(x,y) = xy(x+y-3)
fx'(x,y) = y(2x+y-3)
fy'(x,y) = x(x+2y-3)
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Den Punkt (a,b)=(1,-1) einsetzen:
f(1,-1) = 3
fx'(1,-1) = 2
fy'(1,-1) = -4
Alles in (I) einsetzen:
z = 3 + 2*(x-1) + -4*(y+1)
Ausmultiplizieren:
z = -3 + 2*x - 4*y
Aufgrund der Einschränkung f(x,y) = z = 3 setzt man z = 3
3 = -3 + 2*x - 4*y
Daraus folgt:
0 = -6 + 2x - 4y
bzw.
0 = -3 + x - 2y
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Will man diese Bahn als 2D-Gerade auf der xy-Ebene darstellen (vormals auf der Niveaulinie von f(x,y) auf z=3), dann folgt aus
0 = -3 + x - 2y
y = 1/2*x - 3/2
In diesem Fall ist die Tangenten der Isolinie für die Funktion für den Wert 3 gemeint.
kann nach x und/oder y aufgelöst werden. Man erhält
Die Prüfung ergibt das nur die negative Wurzel den Punkt (1 ; -1) zulässt. Für diesen soll die Tangente errechnet werden. Für die Ableitung
erhält man an der Stelle x=1 den Wert y'=0,5
Daraus lässt sich die Tangentengleichung notieren. Hier der Graph dazu
also man kann es mit den brutalen Abitur-Methoden na klar nach y auflösen... dann die negative Kurve im 4. Quadranten nehmen... und da dann die Ableitung von nehmen... dann erhält man eine Steigung von 0,5 und den Aufpunkt (1;-1) nimmt man aus der Aufgabe... es ergibt sich:
0,5*x+b=y
0,5*1+b=-1 --> b=-1,5
also: 0,5*x-1,5=y | *2
x-3-2y=0 | *2
2x-4y-6=0
oder? aber ihr sollt bestimmt coole Ana IV Tricks verwenden, die ich nie richtig geschnallt habe... oder Ana III? da isses bei mir das Gleiche... blush