Wie berechne ich z^4 = -4?

Wie berechne ich alle Lösungen für z im complexen wenn z = a + bi ist (falls das hilft)

Answer 1

[FataMorgana2010]

Wenn du bereits Polarkoordinaten kennst, dann kannst du das damit berechnen.

Wenn du das mit der Schreibweise a + bi machen willst, dann geht das so:

$(a + bi)^4 = -4$ Ausmultiplizieren (mit allgemeiner binomischer Formel)

$a^4+4a^3bi +6a^2(bi)^2+4a(bi)^3+(bi)^4 = -4$ $a^4+4a^3bi-6a^2b²-4ab^3i+b^4=-4$ Zusammenfassen:

$(a^4 + b^4 - 6a^2b²) + (4a^3b-4ab³)i = -4$ Koeffizientenvergleich für den Realteil

I. $a^4+b^4-6a^2b² = -4$ und den Imaginärteil

II.

$4a^3b-4b^3a=0$

Aus I. folgt, dass weder a noch b Null sein können (weil es in R keine Lösung für x^4=-4 gibt). Also kann ich Gleichung II durch 4ab teilen:

$a² - b² = 0$ Das gilt genau dann, wenn entweder a gleich b ist oder a gleich -b ist.

Fall 1: a=b dann wird I. zu

$a^4+a^4-6a^4 = -4$ das heißt $-4a^4 = -4$ bzw.

$a^4 = 1$ was in R genau dann richtig ist, wenn a = 1 oder a=-1 gilt. Mit a=b ergibt das die Lösungen

x_1 = 1 + i und x_2 = -1-i

Fall 2: a gleich -b , was ebenfalls zu

$a^4 = 1$ führt und damit zu den beiden Lösungen

a_3 = 1 - i und a_4 = -1 + i

Comments

[Maxe456]

Danke klausurvorbereitung gerettet 🙏🏻

Answer 2

[mihisu]

====== Lösungsmenge mit Hilfe der Polarform ======

$z^4=-4$

$\Leftrightarrow\quad z^4=4\cdot \left(-1\right)$

$\Leftrightarrow\quad z^4=4\cdot \text{e}^{\pi\text{i}}$

$\Leftrightarrow\quad\exists k\in\left\lbrace 0, 1, 2, 3\right\rbrace :\ z=4^{\frac{1}{4}}\cdot \text{e}^{\frac{\pi\text{i}+k\cdot 2\pi\text{i}}{4}}$

$\Leftrightarrow\quad\exists k\in\left\lbrace 0, 1, 2, 3\right\rbrace :\ z=\left(2^2\right)^{\frac{1}{4}}\cdot \text{e}^{\frac{\left(1+2k\right)\cdot\pi}{4}\text{i}}$

$\Leftrightarrow\quad\exists k\in\left\lbrace 0, 1, 2, 3\right\rbrace :\ z=2^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\cos\left(\frac{\left(1+2k\right)\cdot\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\left(1+2k\right)\cdot\pi}{4}\right)\right)$

Für k = 0 erhält man...

$z=2^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\cos\left(\frac{\left(1+2\cdot 0\right)\cdot\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\left(1+2\cdot 0\right)\cdot\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=\frac{\sqrt{2}^2}{2}+\text{i}\cdot \frac{\sqrt{2}^2}{2}$

$=1+\text{i}$

Für k = 1 erhält man...

$z=2^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\cos\left(\frac{\left(1+2\cdot 1\right)\cdot\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\left(1+2\cdot 1\right)\cdot\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=-\frac{\sqrt{2}^2}{2}+\text{i}\cdot \frac{\sqrt{2}^2}{2}$

$=-1+\text{i}$

Für k = 2 erhält man...

$z=2^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\cos\left(\frac{\left(1+2\cdot 2\right)\cdot\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\left(1+2\cdot 2\right)\cdot\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

$=-\frac{\sqrt{2}^2}{2}-\text{i}\cdot \frac{\sqrt{2}^2}{2}$

$=-1-\text{i}$

Für k = 3 erhält man...

$z=2^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\cos\left(\frac{\left(1+2\cdot 3\right)\cdot\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{\left(1+2\cdot 3\right)\cdot\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)+\text{i}\cdot \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)$

$=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

$=\frac{\sqrt{2}^2}{2}-\text{i}\cdot \frac{\sqrt{2}^2}{2}$

$=1-\text{i}$

Ergebnis: Die Lösungen sind...

$z_0=1+\text{i},\quad z_1=-1+\text{i},\quad z_2=-1-\text{i},\quad z_3=1-\text{i}$

====== Alternativer Lösungsweg ohne Polarform ======

Ansatz z = a + bi (mit a, b ∈ ℝ) in die Gleichung z⁴ = -4 einsetzen...

$\left(a+b\text{i}\right)^4=-4$

$\Leftrightarrow\quad \left(\left(a+b\text{i}\right)^2\right)^2=-4$

$\Leftrightarrow\quad \left(a^2+2ab\text{i}+b^2\underbrace{\text{i}^2}_{=-1}\right)^2=-4$

$\Leftrightarrow\quad \left(a^2-b^2+2ab\text{i}\right)^2=-4$

$\Leftrightarrow\quad \left(a^2-b^2\right)^2+2\cdot \left(a^2-b^2\right)\cdot 2ab\text{i}+\left(2ab\text{i}\right)^2=-4$

$\Leftrightarrow\quad \left(a^2-b^2\right)^2+2\cdot \left(a^2-b^2\right)\cdot 2ab\cdot \text{i}-4 a^2 b^2=-4$

$\Leftrightarrow\quad \underbrace{\left(a^2-b^2\right)^2-4 a^2 b^2}_{\text{Realteil}}+\underbrace{2\cdot \left(a^2-b^2\right)\cdot 2ab}_{\text{Imaginärteil}}\cdot \text{i}=\underbrace{-4}_{\text{Realteil}}+\underbrace{0}_{\text{Imaginärteil}}\cdot \text{i}$

$\Leftrightarrow\quad \left(a^2-b^2\right)^2-4 a^2 b^2 =-4\quad\text{und}\quad 2\cdot \left(a^2-b^2\right)\cdot 2ab=0$

$\Leftrightarrow\quad \left(a^2-b^2\right)^2-4 a^2 b^2 =-4\quad\text{und}\quad 2\cdot \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)\cdot 2ab=0$

Die rechte Gleichung wird gelöst, wenn a - b = 0 oder a + b = 0 oder a = 0 oder b = 0 ist. Also muss a = b oder a = -b oder a = 0 oder b = 0 sein. Betrachte nun die linke Gleichung in den einzelnen Fällen...

[1. Fall: a = b]

$\left(a^2-b^2\right)^2-4a^2b^2 = -4$

$\xLeftrightarrow{a=b}\quad\left(b^2-b^2\right)^2-4b^2b^2 = -4$

$\Leftrightarrow\quad -4b^4 = -4$

$\Leftrightarrow\quad b^4 = 1$

$\Leftrightarrow\quad b^4-1=0$

$\Leftrightarrow\quad \left(b^2\right)^2-1^2=0$

$\Leftrightarrow\quad \left(b^2-1\right)\cdot \left(b^2+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\quad \left(b-1\right)\cdot \left(b+1\right)\cdot \left(b^2+1\right)=0$

$\xLeftrightarrow{b\in\mathbb{R}}\quad \left(b-1\right)\cdot \left(b+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\quad b-1=0\quad\text{oder}\quad b+1=0$

$\Leftrightarrow\quad b=1\quad\text{oder}\quad b=-1$

$\xLeftrightarrow{a=b}\quad a=b=1\quad\text{oder}\quad a=b=-1$

$\Leftrightarrow\quad a+b\text{i}=1+\text{i}\quad\text{oder}\quad a+b\text{i}=-1-\text{i}$

[2. Fall: a = -b]

$\left(a^2-b^2\right)^2-4a^2b^2 = -4$

$\xLeftrightarrow{a=-b}\quad \left(\left(-b\right)^2-b^2\right)^2-4\cdot \left(-b\right)^2\cdot b^2 = -4$

$\Leftrightarrow\quad \underbrace{\left(b^2-b^2\right)^2}_{=0}-4\cdot b^2\cdot b^2 = -4$

$\Leftrightarrow\quad -4 b^4 = -4$

$\xLeftrightarrow{\text{analog zum vorigen Fall}}\quad b=1\quad\text{oder}\quad b=-1$

$\xLeftrightarrow{a=-b}\quad \left(a=-1\ \text{ und }\ b=1\right)\quad\text{oder}\quad \left(a=1\ \text{ und }\ b=-1\right)$

$\Leftrightarrow\quad a+b\text{i}=-1+\text{i}\quad\text{oder}\quad a+b\text{i}=1-\text{i}$

[3. Fall: a = 0]

$\left(a^2-b^2\right)^2-4a^2b^2 = -4\quad \xLeftrightarrow{a=0}\quad \underbrace{\overbrace{b^4}^{\geq 0}=\overbrace{-4}^{<0}}_{\text{nicht erfüllbar}}$

[4. Fall: b = 0]

$\left(a^2-b^2\right)^2-4a^2b^2 = -4\quad \xLeftrightarrow{b=0}\quad \underbrace{\overbrace{a^4}^{\geq 0}=\overbrace{-4}^{<0}}_{\text{nicht erfüllbar}}$

Wenn man die Ergebnisse der Fälle zusammenfasst, erhält man letztendlich als Lösung:

$z=1+\text{i}\quad \text{oder}\quad z=-1-\text{i}\quad \text{oder}\quad z=-1+\text{i}\quad \text{oder}\quad z=1-\text{i}$