Wie berechne ich den minimalsten Abstand zwischen Parabel und steigender Strecke?
Hallo ihr Lieben, ich bin gerade für meine Mathe Abschlussprüfung (Realschule Bayern) am lernen & komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Ich soll den minimalsten Abstand zwischen der Parabel p y=-0.01x^2+0.8x-20 und der Strecke B1&B2 y=0.04x berechnen.
Wie mache ich das?🙈
4 Antworten
Strecke B1-B2 f(x) = 0.04x
Strecke A1-A2 g(x) = -0.01x^2+0.8x-20
f(x) ist im gegebenen Intervall immer grösser als g(x).
Für den Abstand der beiden Funktionen gilt also
d(x) = f(x) - g(x)
d(x) = 0.04x + 0.01x^2 - 0.8x + 20 = 0.01x^2 - 0.76x + 20
Für ein Extremstelle von d(x) muss die Ableitung Null sein:
d'(x) = 0.02x - 0.76
Das gilt für x = 38. Das ist aufgrund der vorliegenden Graphik ein Minimum.
Der minmale Abstand beträgt d(38) = 139/25.
###
Achtung: diese Methode funktioniert nur, wenn der minimale Abstand zwischen zwei Funktionen durch eine senkrechte Linie bestimmt wird. Es gibt aber Funktionen, deren minimaler Abstand einer "schiefen" Linie entspricht. In diesem Fall wäre die Abstandsfunktion von zwei Variablen abhängig.
Hallo,
der kleinste Abstand ist der, den eine Tangente mit der gleichen Steigung wie die Gerade, also der Steigung 0,04 zur Geraden hat, die die Parabel berührt.
Du bildest also die erste Ableitung der Parabel, setzt diese gleich 0,04 und bekommst so den Berührpunkt heraus. Der kleinste Abstand ist der zwischen diesem Berührpunkt und dessen Fußpunkt auf der Geraden.
Herzliche Grüße,
Willy
Interessante Frage, denn was ist z.B. im Fall f(x) = x^3 und g(x) = a*x+b. Der minimale Abstand ist immer Null. Auch im Fall f'(x) = a.
stimmt . Anscheinend muss man Schnittpunkte ausschließen ( in dieser Frage keiner ) und bei vorhandenen Schnittpunkten ist genau dort der Abstand Null
Du ziehst die beiden Funktionen voneinander ab, quadrierst sie (oder sorgst anderweitig dafür, dass alle negativen Werte positiv werden) und bestimmst dann das Minimum der daraus entstandenen Funktion.
Dann bekommst Du aber nur den minimalen senkrechten Abstand. Das muß nicht unbedingt der kleinste Abstand sein.
Nimm zwei parallele Geraden.
Der minimalste Abstand ist immer in Richtung der Orthogonalen zum Richtungsvektor zu finden und die stimmt nur in Sonderfällen mit der Senkrechten des Koordinatensystems überein.
So, da ist der Abstand jetzt noch immer derselbe. Jetzt stell dir einfach vor, du hast zwei Funktionen und die Geraden stellen deren Tangente an dieser Stelle dar. Es sollte dir leicht fallen, diese so zu bauen, dass der Abstand entlang der Orthogonalen zwar minimal, in der senkrechten aber sehr groß ist.
Es kann sogar sein, dass die Funktionen an der jeweiligen Stelle ins unendliche gehen.
Stell dir beispielsweise die Funktion y=1/x vor. Teile diese am Nullpunkt in zwei Funktionen auf und berechne die Stelle des minimalen Abstands. Da versagt die Methode über die senkrechte völlig.
Aber wie komme ich auf das Minimum?
Ich bin auf y=0.01x^2-0.76x+20 gekommen. Und jetzt ?
Minimum kannst du berechnen, indem du den Extrempunkt findest. Dafür leitest du die Funktion ab und suchst die Nullstellen der Ableitung.
Womöglich möcjte man aber doch einen anderen Ansatz wählen, Willy1729 machte mich gerade darauf aufmerksam, dass sich so lediglich der geringste Abstand in eine Richtung finden lässt, nicht jedoch in eine beliebige.
Eigentlich sollte das auch nicht so schwer sein, ich finde aber gerade nichts, was ich dazu verlinken könnte.
-0.01x^2+0.8x-20 - 0.04x
ist der Abstand der beiden Graphen
.
man erhält eine Parabel
-0.01x² + 0.76x - 20
und bestimmt deren Scheitelpunkt
.
Kontrollergebnis : 38
Übrigens: Minimal bedeutet schon kleinstmöglich. Das kann nicht mehr zu minimalst gesteigert werden.