Wie berechne ich cos(x)=-0,5?
Ich weiß, dass man mit der Taste cos-1 auf dem WTR auf 60º kommt, aber ich brauche Zahlen, da ich Nullstellen angeben soll. Wenn ich auf Radian umstelle bekomme ich 2,09 raus, aber ich brauche mehrere Nullstellen (im Intervall [0;2pi]).
Wie rechne ich das aus?
Vielen Dank
Ich meinte man kommt auf 120º
3 Antworten
- | cos(2πn+x)=cos(x)
- | cos(–x)=cos(x)
- | cos(2πn–x)=cos(x) folgt aus (1.) und (2.)
Aus diesen beiden Eigenschaften (n ist eine beliebige ganze Zahl), kannst du alle anderen Nullstellen von cos(x)+1/2 im Intervall [0, 2π] ermitteln.
Aus cos(x)=–1/2 erhalten wir x=2π/3.
Aus (2.) folgt, dass –2π/3 auch eine Lösung ist. Die liegt allerdings nicht in [0, 2π].
Aus (1.) folgt, dass 2π/3+2π auch eine Lösung ist, liegt aber auch nicht in [0, 2π].
Allerdings folgt aus (3.) die Lösung 4π/3.
Alle anderen Lösungen sind nicht im Intervall [0, 2π] enthalten. Hier noch eine Grafik:
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich verstehe nur nicht, wie man x=2π/3 erhält. Wenn ich im WTR cos-1(-0,5) eingebe, kommt 2,09 raus. Ich weis, dass 2π/3=2,09 ist, aber wie kommt man auf dem Ausdruck mit pi statt mit dezimalzahlen?
Normalerweise zeigt der Taschenrechner 2π/3 an. Dann gibt es eine Taste, sodass dieser den Näherungswert 2,09... anzeigt. Drückst du nochmal auf die Taste, erhälst du wieder den algebraischen Ausdruck.
Die Taste heißt "X<=>E" oder so ähnlich, glaube ich.
Ja vielleicht, ich finde aber meinen Taschenrechner nicht und benutze jezt stattdessen ein online Taschenrechner. Ich habe aber rausgefunden, wie man die Gradzahl in einen Bruch mit Pi umwandelt, und zwar mit der Gleichung (2*pi)/360=x/(beliebige Gradzahl). Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe!
Noch eine letzte Frage, gilt cos(x + 2*pi*n) = cos(x) auch für die sinus-Funktion? sin(-x)=sin(x) gilt ja nicht, da sinus nicht achsen- sondern punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Generell gefragt, welche Eigenschaften gibt es für die sinus-Funktion?
Der Cosinus ist 2π periodisch. Das heißt cos(x + 2kπ) = cos(x) für alle k∈ℤ.
Außerdem ist der Cosinus achsensymmetrisch zur y-Achse. Das heißt cos(x) = cos(-x).
Wenn also ein x = 120° = 2/3 π gefunden wurde, wären neben 2/3 π + 2kπ auch -2/3 π + 2kπ für alle k ∈ ℤ eine Lösungen. Jetzt musst du nur noch herausfinden, für welche k du in dem Definitionsbereich landest.
Richtig cos(120°) = - 0,5
LG Manfred
Wir erhalten x = 2π/3.
Für x = π/3 würden wir cos(x)=1/2 erhalten.