Nullstellen - periodische Funktion?
Ist es möglich, bei einer beliebigen, periodischen Funktion f(x) die Nullstellen in einem bestimmten Intervall [a;b] zu berechnen?
Z.B. bei der Funktion f(x) = 2+cos(x)/sin^2(x) im Intervall [0;π]
6 Antworten
naja... wann wird ein Bruch denn Null? z. B. wenn sein Zähler 0 ist... oda?
also wann wird cos(x) denn 0...
ne andere Möglichkeit wäre dass der Grenzwert an der Stelle x von beiden Seiten 0 ist, wenn cos(x) zwar nicht 0 ist, abea dafür sin²(x) „unendlich“... das wird aber nicht passieren, weil sin²(x)<=1 ist...
Ohne Umformung meistens nicht
0=2+cos(x)/sin^2(x) multipliziert mit sin^2(x)
0=2*sin^2(x)+cos(x)
siehe Mathe-Formelbuch "Potenzen von trigonometrischen Funktionen"
sin^2(x)=1/2(1-cos(2*x) ergibt
0=1-cos(2*x)+cos(x)
siehe "Doppelte und halbe Winkel"
cos(2*x)=2*cos^2(x)-1 ergibt
0=1-(2*cos^2(x)-1)+cos(x)
0=-2*cos^2(x)+1+1+cos(x)
0=-2*cos^2(x)+cos(x)+2 dividiert durch -2 und Substituion z=cos(x)
0=z^2-1/2*z-1
Mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)
Nullstellen bei z1=-0,78 und z2=1,2807
z1=-0,78=cos(x) ergibt x=arccos(-0,78)=2,46546.. Rechner auf rad einstellen
z2=1,2807=cos(x) ergibt x=arccos(1,2807)= Error fällt also weg ,geht nich
Probe= 2+cos(2,465..)/sin^(2,465..)=8,91*10^-3=0 Rundungfehler beachten!
In "Handarbeit" mußt du die Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen.
Ein Bruch ist immer dann Null, wenn der Zähler Null wird, in diesem Fall cos(x).
Und cos(x) wird Null bei x=...,-3/2pi, -1/2pi, 1/2pi, 3/2pi, 5/2pi, ...
Hiervon liegt in Deinem Intervall nur 1/2pi.
Sicherheitshalber noch prüfen, ob die ermittelten Werte nicht evtl. Definitionslücken sind (in diesem Fall nicht) und fertig...
Wenn du die Länge der Periodizität kennst, kannst du aus einer Nullstelle unendlich viele weitere konstruieren.
Schreibe f(x) als 2+cot(x)/sin(x). Da cot die Periode π/2 und sin die Periode π hat, ist f auch π-periodisch.
Wenn du nun ein a mit f(a)=0 findest, sind auch alle a+nπ mit ganzem n Lösungen.
Klar, warum nicht. Die genannte Funktion hat halt bei 0, pi, 2pi usw. Polstellen, aber wenn der Bruch -2 wird, hat sie auch Nullstellen.